𝑥̈=
1
ε²
(𝑥
𝑖+1
-2𝑥
𝑖
+𝑥
𝑖-1
)
(2.24)
Могут быть случаи, когда такая замена непригодна или неточна и использовать наше определение суммы по траекториям становится весьма затруднительно. Такая ситуация возникает уже при обычном интегрировании, если некорректно определение интеграла по Риману, задаваемое равенством (2.18), и приходится обращаться к другим определениям, например к интегралу Лебега.
Необходимость уточнить способ интегрирования вовсе не дискредитирует саму идею. Просто речь идёт о том, что возможные неудобства, связанные с нашим определением суммы по траекториям [см. выражение (2.22)], в конечном счёте могут потребовать формулировки новых определений. Тем не менее сама идея суммирования по всем траекториям, подобно идее обычного интеграла, не зависит от специфики определения и сохраняет смысл, несмотря на недостатки некоторых частных построений. Поэтому, пользуясь менее связывающими обозначениями, мы будем записывать сумму по траекториям как
𝐾(𝑏,𝑎)=
𝑏
∫
𝑎
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑏,𝑎]
𝒟𝑥(𝑡)
(2.25)
и называть её интегралом по траекториям. Это обстоятельство отметим введением знака 𝒟 вместо оператора дифференциала 𝑑. Лишь изредка мы будем возвращаться к выражению типа (2.22).
Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы типа (2.15). Теперь перейдём к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче. Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперёд и назад со скоростью света. Для удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости (𝑥,𝑡) все траектории движения такого осциллятора имеют наклон ±π/4, как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной ε и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т.е. в моменты времени 𝑡=𝑡𝑎+𝑛ε, где 𝑛 — целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2.15); правильным в данном случае будет выражение
φ=(𝑖ε)
𝑅
,
(2.26)
где 𝑅 — число точек поворота на траектории.
Фиг. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движущейся в двух измерениях.
Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен по величине и различается только знаком в обеих частях зигзага. Амплитуда вероятности для некоторой частной траектории, так же как и ядро, описывающее переход из точки 𝑎 в точку 𝑏, зависит от числа поворотов 𝑅 на траектории; это следует из выражений (2.26) и (2.27).
В качестве упражнения читатель может использовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро 𝐾(𝑏,𝑎), суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т.д. точками поворота. Это даст
𝐾(𝑏,𝑎)=
∑
𝑁(𝑅)(𝑖ε)
𝑅
,
𝑅
(2.27)
где 𝑁(𝑅) — число возможных траекторий с 𝑅 точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины 𝐾, а именно: 𝐾++(𝑏,𝑎)— амплитуду перехода из точки 𝑎, где скорость частицы была положительной (т.е. направленной вдоль оси 𝑥), в точку 𝑏, в которой её скорость также положительна; 𝐾+-(𝑏,𝑎) — амплитуду перехода из точки 𝑎, где частица имела отрицательную скорость, в точку 𝑏, куда частица приходит с положительной скоростью; аналогично определены амплитуды 𝐾-+ и 𝐾--.
Предположим теперь, что время измеряется в единицах ℏ/𝑚𝑐². Покажите, что если интервал времени очень велик (𝑡𝑏-𝑡𝑎 ≫ ℏ/𝑚𝑐²), а средняя скорость мала [𝑥𝑏-𝑥𝑎 ≪ 𝑐(𝑡𝑏-𝑡𝑎)], то ядро [если не считать множителя exp (𝑖𝑚𝑐²/ℏ)(𝑡𝑎-𝑡𝑏)] совпадает с выражением для свободной частицы [см. (3.3)]. Приведённые здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая.