Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: 𝑡𝑐 и 𝑡𝑑. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки 𝑎 в точку 𝑏, можно записать в виде
𝐾(𝑏,𝑎)=
∫
∫
𝐾(𝑏,𝑐)
𝐾(𝑐,𝑑)
𝐾(𝑑,𝑎)
𝑑𝑥
𝑐
𝑑𝑥
𝑑
.
𝑥
𝑐
𝑥
𝑑
(2.32)
Это означает, что частица, которая движется из точки 𝑎 в точку 𝑏, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки 𝑎 в точку 𝑑, потом из точки 𝑑 в точку 𝑐 и, наконец, из точки 𝑐 в точку 𝑏. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки 𝑎 в точку 𝑏, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных 𝑥𝑐 и 𝑥𝑑.
Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на 𝑁 участков. В результате получим
𝐾(𝑏,𝑎)=
∫
𝑥1
∫
𝑥2
…
∫
𝑥𝑁-1
𝐾(𝑏,𝑁-1)
𝐾(𝑁-1,𝑁-2)
…
𝐾(𝑖+1,𝑖)
…
𝐾(1,𝑎)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
…
𝑑𝑥
𝑁-1
.
(2.33)
Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени ε, имеет вид
𝐾(𝑖+1,𝑖)=
1
𝐴
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖ε
ℏ
𝐿
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑖+1-𝑥𝑖
ε
,
𝑥𝑖+1+𝑥𝑖
2
,
𝑡𝑖+1+𝑡𝑖
2
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
.
(2.34)
Последнее выражение является точным в первом приближении по ε. Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:
φ[𝑥(𝑡)]=
lim
ε→0
𝑁-1
∏
𝑖=0
𝐾(𝑖+1,𝑖).
(2.35)
Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра 𝐾(𝑏,𝑎). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).
§ 6. Некоторые замечания
В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде 𝑒𝑖𝑆/ℏ или каким-либо другим простым способом. Тем не менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми небольшими изменениями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда вероятности, которая по-прежнему задаётся выражением (2.35). Единственное различие состоит в том, что в релятивистской теории ядро 𝐾(𝑖+1,𝑖) выражается уже не так просто, как это имеет место в соотношении (2.34). Трудности возникают в связи с необходимостью учитывать ещё спин и возможность рождения электронно-позитронных пар.
В нерелятивистских системах с большим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми не только установленные выше принципы сложения амплитуд, но и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе. Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равна соответствующему действию, делённому на ℏ. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах.
Глава 3
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ
В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определённым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отношении движения, подчиняющегося законам квантовой механики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введём волновую функцию и выясним её связь с ядром. Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с её более традиционными формулировками.