Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл. 2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, возможно, и разъясняет суть дела, тем не менее оно неудобно для практического пользования. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальнейшем.
Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание квантовомеханических принципов, установить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы.
§ 1. Свободная частица
Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен
𝐿=
𝑚𝑥̇²
2
,
(3.1)
поэтому, учитывая выражения (2.21) — (2.23), мы можем записать ядро в виде
𝐾(𝑏,𝑎)=
lim
ε→0
∫∫
…
∫
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏε
𝑁
∑
𝑖=1
(𝑥
𝑖
-𝑥
𝑖-1
)²
⎤
⎥
⎦
×
×
𝑑𝑥
1
…
𝑑𝑥
𝑁-1
.
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫-𝑁/2
⎪
⎭
.
(3.2)
Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т.е. интегралов вида
∫
[exp(-𝑎𝑥²)]𝑑𝑥
или
∫
[exp(-𝑎𝑥²+𝑏𝑥)]𝑑𝑥.
Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим
𝐾(𝑏,𝑎)=
⎡
⎢
⎣
2π𝑖ℏ(𝑡𝑏-𝑡𝑎)
𝑚
⎤-½
⎥
⎦
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚(𝑥𝑏-𝑥𝑎)²
2ℏ(𝑡𝑏-𝑡𝑎)
⎤
⎥
⎦
.
(3.3)
Вычисления здесь выполнялись следующим образом. Прежде всего следует заметить, что
∞
∫
-∞
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
exp
⎧
⎨
⎩
𝑚
2𝑖ℏε
[(𝑥
2
-𝑥
1
)²+(𝑥
1
-𝑥
0
)²]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
1
=
=
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏ⋅2ε
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑚
2𝑖ℏ⋅2ε
(𝑥
2
-𝑥
0
)²
⎤
⎥
⎦
.
(3.4)
Умножим это выражение на функцию
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑚
2𝑖ℏε
(𝑥
3
-𝑥
2
)²
⎤
⎥
⎦
(3.5)
и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной 𝑥2; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (𝑥2-𝑥0)² заменяется на (𝑥3-𝑥0)², а величина 2ε в двух местах заменяется на 3ε:
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏ⋅3ε
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑚
2𝑖ℏ⋅3ε
(𝑥
3
-𝑥
0
)²
⎤
⎥
⎦
.
Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после (𝑛-1)-го шага даёт функцию