⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏ𝑛ε
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑚
2𝑖ℏ⋅𝑛ε
(𝑥
𝑛
-𝑥
0
)²
⎤
⎥
⎦
.
Поскольку 𝑛ε=𝑡𝑛-𝑡0, то легко видеть, что результат (𝑁-1)-го шага совпадает с выражением (3.3).
Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным 𝑥𝑖 с нечётным значением 𝑖 (в предположении, что 𝑁 чётное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделённые друг от друга интервалом 2ε. Следовательно, по крайней мере в случае, когда 𝑁 можно представить как 2𝑘, выражение (3.3) получается после 𝑘 таких шагов.
Задача 3.1. Вероятность того, что частица попадёт в точку 𝑏, по определению пропорциональна квадрату модуля ядра 𝐾(𝑏,𝑎). В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), эта вероятность
𝑃(𝑏)𝑑𝑥=
𝑚
2πℏ(𝑡𝑏-𝑡𝑎)
𝑑𝑥.
(3.6)
Ясно, что это относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям 𝑥 расходится. Что означает этот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки 𝑎 с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале 𝑑𝑝, равна 𝑑𝑝/2πℏ.
Импульс и энергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчёта пространственных координат и времени точку 𝑎. Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку 𝑏(𝑥,𝑡) будет иметь вид
𝐾(𝑥,𝑡,0,0)=
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏ𝑡
𝑚
𝑒
𝑖𝑚𝑥²/2ℏ𝑡
⎫-½
⎪
⎭
.
Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг. 3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7).
Фиг. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в различные точки на расстоянии 𝑥 от начала координат спустя время 𝑡.
Мнимая часть (не показана) представляет собой аналогичную волну, смещённую по фазе на 90°, так что модуль квадрата амплитуды — постоянная величина. Длина волны мала при больших 𝑥 т.е. при таких значениях, которые классическая частица может достичь, лишь если она движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно пропорциональны друг другу (см. формулу (3.10)].
Мы видим, что по мере удаления от начала координат осцилляции становятся все более и более частыми. Если 𝑥 настолько велико, что произошло уже много таких осцилляций, то расстояние между соседними узлами почти постоянно, по крайней мере для нескольких ближайших осцилляций. Другими словами, амплитуда ведёт себя как синусоида с медленно меняющейся длиной волны λ. Представляет интерес вычислить эту длину волны. При изменении 𝑥 на длину волны λ фаза амплитуды должна увеличиться на 2π. Отсюда следует, что
2π=
𝑚(𝑥+λ)²
2ℏ𝑡
-
𝑚𝑥²
2ℏ𝑡
=
𝑚𝑥λ
ℏ𝑡
+
𝑚λ²
2ℏ𝑡
.
(3.8)
Пренебрегая величиной λ² по сравнению с 𝑥λ (т.е. предположив, что 𝑥≫λ, получаем
λ=
2πℏ
𝑚(𝑥/𝑡)
.
(3.9)
С точки зрения классической физики частица, переместившаяся из начала координат в точку 𝑥 за время 𝑡, имеет скорость 𝑥/𝑡 и импульс 𝑚𝑥/𝑡. Когда в квантовой механике движение частицы можно адекватно описать классическим импульсом 𝑝=𝑚𝑥/𝑡, соответствующая амплитуда вероятности изменяется в пространстве синусоидально и длина волны её колебаний равна
λ=
ℎ
𝑝
(3.10)
Это соотношение можно получить и в более общем случае. Предположим, что у нас есть некоторый прибор больших размеров, например магнитный анализатор, который собирает частицы с данным импульсом в заданную точку. Покажем, что если этот прибор достаточно велик и при работе с ним классическая физика является хорошим приближением, то амплитуда вероятности попадания частицы в наперёд заданную точку в пространстве осциллирует с длиной волны, равной ℎ/𝑝. Как мы уже видели, ядро в этом случае можно аппроксимировать выражением