𝐾~exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑆
кл
(𝑏,𝑎)
⎤
⎥
⎦
.
(3.11)
Вариация положения конечной точки 𝑥𝑏 вызывает изменение классического действия. Если это действие велико по сравнению с ℏ (квазиклассическое приближение), то при изменении координаты 𝑥𝑏 ядро 𝐾 будет очень быстро осциллировать. Изменение фазы, приходящееся на единицу смещения конечной точки, составляет
𝑘=
1
ℏ
∂𝑆кл
∂𝑥𝑏
.
(3.12)
Но ∂𝑆кл/∂𝑥𝑏 есть не что иное, как классический импульс частицы в точке 𝑥𝑏 (см. задачу 2.4) и, следовательно, 𝑝=ℏ𝑘. Эта величина 𝑘 представляет собой изменение фазы на единицу длины волны и называется волновым числом; ею очень удобно пользоваться. Поскольку на расстоянии, равном длине волны, фаза изменяется на 2π, то 𝑘=2π/λ. Формула (3.12) представляет собой соотношение. де Бройля, связывающее импульс частицы с его волновым числом.
Фиг.3.2. Амплитуда вероятности найти частицу в заданной точке изменяется со временем.
Здесь показана действительная часть амплитуды. Частота колебаний пропорциональна энергии, которую должна была бы иметь частица, чтобы достичь заданной точки за время 𝑡.
Рассмотрим теперь временну'ю зависимость ядра, описывающего свободное движение. Предположим, что расстояние фиксировано, а время переменно. Изменение действительной части ядра (3.7) показано на фиг. 3.2, где вдоль оси времени переменны как частота, так и амплитуда колебаний.
Пусть время 𝑡 так велико, что зависимостью амплитуды колебаний от 𝑡 можно пренебречь. По определению период колебаний 𝑇 равен времени, в течение которого фаза возрастает на 2π тогда
2π=
𝑚𝑥²
2ℏ𝑡
-
𝑚𝑥²
2ℏ(𝑡+𝑇)
=
𝑚𝑥²
2ℏ𝑡²
⎧
⎪
⎩
𝑇
1+𝑇/𝑡
⎫
⎪
⎭
.
(3.13)
Введя угловую частоту ω=2π/𝑇 и предположив, что 𝑡≫𝑇, это выражение можно записать как
ω≈
𝑚
2ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑥
𝑡
⎫²
⎪
⎭
(3.14)
Так как величина 𝑚(𝑥/𝑡)²/2 представляет собой классическую энергию свободной частицы, то это равенство утверждает, что
энергия=ℏω.
(3.15)
Соотношение (3.15), равно как и связь между длиной волны и импульсом, справедливо в случае любого прибора, который можно адекватно описать на языке классической физики, и его, так же как соотношение (3.12), можно получить из более общих соображений.
В соответствии с выражением (3.11) любая вариация времени 𝑡𝑏 в конечной точке приведёт к быстрым осцилляциям ядра. Частота этих осцилляций
ω=
1
ℏ
∂𝑆кл
∂𝑡
.
(3.16)
Величина ∂𝑆кл/∂𝑡 в классическом рассмотрении интерпретируется как энергия 𝐸 (см. задачу 2.5), и, следовательно,
ω=
𝐸
ℏ
.
(3.17)
Таким образом, понятия импульса и энергии переносятся в квантовую механику с помощью следующих правил:
1) если амплитуда вероятности изменяется как 𝑒𝑖𝑘𝑥, то говорят, что частица имеет импульс ℏ𝑘;
2) если эта амплитуда имеет определённую частоту, изменяясь с течением времени как 𝑒-𝑖ω𝑡, то говорят, что энергия равна ℏω.
Мы только что показали, что эти правила согласуются с определением энергии и импульса в предельном классическом случае.
Задача 3.2. Покажите с помощью подстановки, что в случае свободной частицы, как только 𝑡𝑏 превосходит 𝑡𝑎, ядро 𝐾(𝑏,𝑎) удовлетворяет дифференциальному уравнению
-
ℏ
∂𝐾(𝑏,𝑎)
=-
ℏ²
∂²𝐾(𝑏,𝑎)
𝑡
∂𝑡
𝑏
2𝑚
∂𝑥²
𝑏
(3.18)
§ 2. Дифракция при прохождении через щель