Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и её связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример. Предположим, что в момент времени 𝑡0 частица выходит из начала координат, а спустя время 𝑇 мы находим её в некоторой точке 𝑥0. В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью 𝑣0=𝑥0/𝑇. При этом подразумевалось бы, что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время τ она пройдёт дополнительное расстояние 𝑣0τ. Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу.
В момент времени 𝑡0 частица выходит из начала координат 𝑥0. Пусть нам известно, что спустя время 𝑇 она находится в окрестности 𝑥0±𝑏 точки 𝑥0. Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу ещё через время τ на расстоянии 𝑥 от точки 𝑥0? Амплитуду перехода в точку 𝑥 в момент времени 𝑡+τ можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени 𝑇 соответствующие траектории лежат в интервале 𝑥0±𝑏.
Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем. Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах ±𝑏 от точки 𝑥0? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени 𝑇 в интервале 𝑥0±𝑏. Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.
Фиг. 3.3. Движение частицы сквозь щель.
Известно, что частица, выходящая в момент времени 𝑡=0 из точки 𝑥=0, проходит между точками 𝑥0-𝑏 и 𝑥0+𝑏 в момент времени 𝑡=𝑇.
Мы хотим вычислить вероятность нахождения частицы в некоторой точке 𝑥 спустя время τ, т.е. когда 𝑡=𝑇+τ. Согласно классическим законам, частица должна находиться между 𝑥0(τ/𝑇)+𝑏(1+τ/𝑇) и 𝑥0(τ/𝑇)-𝑏(1+τ/𝑇), т.е. внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханические законы показывают, что частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне этих классических пределов.
Эту задачу нельзя решать, применяя лишь закон движения для свободной частицы, так как щель ограничивает движение частицы. Поэтому разобьём задачу на две — соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой задаче рассматривается движение частицы из точки 𝑥=0 при 𝑡=0 в точку 𝑥=𝑥0+𝑦 при 𝑡=𝑇, где |𝑦|≤𝑏; во второй — движение из точки 𝑥0+𝑦 при 𝑡=𝑇 в точку 𝑥 при 𝑡=𝑇+τ. Полная амплитуда вероятности, как это видно из формулы (3.19), равна интегралу от произведения ядер для двух таких движений свободной частицы.
Предположим, что в момент времени 𝑇 нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось 𝑥 за исключением интервала 𝑥0±𝑏. Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала 𝑥0±𝑏, показывает, что нигде нет ни одной частицы, т.е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала 𝑥0±𝑏. Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь можно написать в виде
ψ(𝑥)=
𝑏
∫
-𝑏
𝐾(𝑥+𝑥
0
,𝑇+τ;𝑥
0
+𝑦,𝑇)
𝐾(𝑥
0
+𝑦,𝑇;0,0)𝑑𝑦.
(3.19)
Это выражение записано в соответствии с правилом сложения амплитуд для последовательных во времени событий. Событие первое — частица движется от начала координат до щели. Событие второе — дальнейшее движение частицы от щели до точки 𝑥. Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую её точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (3.3). Амплитуда вероятности имеет, таким образом, вид
ψ(𝑥)=
𝑏
∫
-𝑏
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏτ