⎫
⎪
⎭
+
+
𝑖𝑚
ℏ
⎧
⎪
⎩
-
𝑥
τ
+
𝑥0
𝑇
⎫
⎪
⎭
𝑦+
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚
2ℏτ
+
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
-
1
2𝑏²
⎫
⎪
⎭
𝑦²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑦.
(3.24)
Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид exp(α𝑥²+β𝑥), можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:
∞
∫
-∞
[exp(α𝑥²+β𝑥)]𝑑𝑥=
⎧
⎪
⎩
π
-α
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
-
β²
4α
⎫
⎪
⎭
для Re(α)≤0.
(3.25)
Таким образом, амплитуда становится равной
ψ(𝑥)=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ
⎫½
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
𝑇τ
⎧
⎪
⎩
1
𝑇
+
1
τ
+
ℏ𝑖
𝑏²𝑚
⎫
⎪
⎭
⎤-½
⎥
⎦
×
×exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑥²
τ
+
𝑥²0
𝑇
⎫
⎪
⎭
-
(𝑖𝑚/ℏ)²(-𝑥/τ+𝑥0/𝑇)²
4(𝑖𝑚/2ℏ)(1/τ+1/𝑇+ℏ𝑖/𝑏²𝑚)
⎤
⎥
⎦
.
(3.26)
Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть 𝑣0=𝑥0𝑇. Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды:
ψ(𝑥)=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ
⎫½
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑇+τ+𝑇τ
ℏ𝑖
𝑚𝑏²
⎫-½
⎪
⎭
×
×exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑣
2
0
𝑇+
𝑥²
τ
⎫
⎪
⎭
+
(𝑚²/2ℏ²τ²)(𝑥-𝑣0)²
(𝑚/ℏ)(𝑖/𝑇+𝑖/τ)-1/𝑏²
⎤
⎥
⎦
.
(3.27)
Рассмотрим сначала относительную вероятность достижения частицей различных точек оси 𝑥. Эта вероятность пропорциональна квадрату модуля амплитуды. Заметим, что модуль экспоненты с мнимым показателем равен единице. Выделяя действительные части во втором сомножителе и в показателе последней экспоненты выражения (3.27), получаем
𝑃(𝑥)𝑑𝑥=
𝑚
2πℏ𝑇
𝑏
Δ𝑥
exp
⎡
⎢
⎣
-(𝑥-𝑣0τ)²
(Δ𝑥)²
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥.
(3.28)
Здесь применялась подстановка
(Δ𝑥)²=𝑏²
⎧
⎪
⎩
1+
τ
𝑇
⎫²
⎪
⎭
+
τ²ℏ²
𝑚²𝑏²
=𝑏
2
1
+
τ²ℏ²
𝑚²𝑏²
.
(3.29)
Как мы и ожидали, распределение оказывается гауссовым с центром в точке 𝑥1=𝑣0τ, определяемой соотношением (3.23), однако ширина распределения Δ𝑥 больше той величины 𝑏1 которая следует из этого соотношения. Интерпретировать это можно следующим образом. Пусть 𝑎1 и 𝑎2 — две независимые величины и их среднеквадратичные отклонения от средних значений составляют соответственно α1 и α2. Тогда если 𝑎3=𝑎1+𝑎2, то среднеквадратичное отклонение величины 𝑎3 от её среднего значения равно α3=(α²1+α²2)½. Далее, для какого-либо распределения среднеквадратичное отклонение является мерой его протяжённости, или шириной этого распределения, и для гауссова распределения exp(-𝑥²1/2𝑏²) величина среднеквадратичного отклонения действительно равна 𝑏.
Таким образом, мы видим, что в данном случае квантовомеханическая система ведёт себя так, как если бы она обладала дополнительной случайной переменной 𝑥1, среднеквадратичное отклонение которой составляет