Δ𝑥
1
=
ℏτ
𝑚𝑏
.
(3.30)
Физический смысл имеет именно это дополнительное уширение Δ𝑥1, а не сама переменная 𝑥1. Поскольку в этом члене появляется константа ℏ, ясно, что по природе своей он — квантовомеханический. Такой член является существенным в случае узких щелей и частиц с малой массой.
Итак, квантовая механика говорит нам, что после прохождения малых частиц сквозь узкую щель возникает неопределённость в их последующем положении. Эта неопределённость Δ𝑥1 пропорциональна интервалу времени τ между прохождением частицы сквозь щель и последующим наблюдением её положения. Вводя классическое понятие скорости, мы должны сказать, что прохождение частицы сквозь щель создаёт в значении её скорости неопределённость, величина которой равна
δ𝑣=
ℏ
𝑚𝑏
.
(3.31)
Связанный с шириной щели параметр 2𝑏 мы могли бы рассматривать как меру неопределённости координаты частицы в момент её прохождения сквозь щель. Если обозначить эту неопределённость через δ𝑥 и записать произведение 𝑚𝑣 как импульс 𝑝, то выражение (3.31) приобретает вид
δ𝑝δ𝑥=2ℏ.
(3.32)
Мы снова пришли к одной из формулировок принципа неопределённости: хотя в классическом смысле скорость могла быть известна точно, последующее положение частицы приобретает такую дополнительную неопределённость, как если бы частица при прохождении сквозь щель ширины δ𝑥 получала случайный импульс δ𝑝. Если бы для качественного описания результатов квантовой механики использовались классические понятия, то мы бы сказали, что точное определение положения порождает неопределённость в импульсе.
Что за множитель появляется перед экспонентой в выражении (3.28)? Если проинтегрировать это выражение по всей области изменения 𝑥 от -∞ до +∞, то в результате получим
𝑃(для всех 𝑥)=
𝑚
2πℏ𝑇
𝑏√
π
.
(3.33)
Эта величина есть, очевидно, вероятность того, что частица проходит сквозь щель, так как при интегрировании включаются те и только те частицы, которые действительно прошли сквозь щель. Существует и другой способ получения этого результата. Предположим, что мы знаем квадрат модуля ядра 𝐾(𝑥0+𝑦,𝑇;0,0), составляющего вторую половину подынтегрального выражения (3.20). Это есть не что иное, как отнесённая к единице длины вероятность попадания частицы в точку щели 𝑥0+𝑦
𝑃(𝑥
0
+𝑦)𝑑𝑦=
𝑚
2πℏ𝑇
𝑑𝑦.
(3.34)
Эта вероятность в пределах щели не зависит от координаты; следовательно, умножив её на ширину этой щели, мы получили бы полную вероятность попадания частицы в щель. Это означает, что эффективная ширина гауссовой щели равна 𝑏√π. Если бы мы использовали первоначальную щель с резкими границами, то эффективная ширина получилась бы равной 2𝑏.
Задача 3.3. Возведя в квадрат амплитуду, заданную выражением (3.20), и интегрируя затем по 𝑥, покажите, что вероятность прохождения частицы сквозь нашу первоначальную щель
𝑃(пройти сквозь щель)=
𝑚
2πℏ𝑇
2𝑏.
(3.35)
В ходе решения этой задачи появится интеграл
∞
∫
-∞
𝑒
𝑖𝑎𝑥
𝑑𝑥,
(3.36)
который является интегральным представлением дираковской δ-функции δ(𝑎) 1).
1) См. таблицы интегралов в приложении к этой книге и в [2].
Таким образом, квантовомеханические результаты согласуются с представлением о том, что вероятность прохождения частицы сквозь щель равна вероятности попадания этой частицы в щель.
Импульс и энергия. Убедимся теперь ещё раз в том, что когда импульс частицы известен точно, соответствующая ей амплитуда изменяется как 𝑒𝑖𝑘𝑥. Для этого вернёмся к подробному изучению амплитуды, заданной выражением (3.26). На этот раз попытаемся создать в нашем эксперименте такие условия, чтобы скорость частиц после прохождения щели была известна настолько точно, насколько это возможно.
Совершенно независимо от каких-либо квантовомеханических соображений существует классическая неопределённость скорости порядка 𝑏/𝑇. При любой заданной ширине щели, выбирая время 𝑇 очень большим, можно сделать эту неопределённость пренебрежимо малой. Координату 𝑥0 можно также взять настолько большой, чтобы при этом средняя скорость 𝑥0/𝑇=𝑣0 не обращалась в нуль. Считая 𝑣0 и интервал времени τ постоянными, в пределе при 𝑇→∞ получаем следующее выражение для амплитуды: