ψ(𝑥)≈
const
(1+τℏ/2𝑚𝑏²)½
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚𝑥²
2ℏτ
+
𝑚²(𝑥-τ𝑣0)²
4ℏ²τ²(𝑖𝑚/2ℏτ-1/2𝑚²)
⎤
⎥
⎦
.
(3.37)
Далее мы должны сделать так, чтобы квантовомеханическая неопределённость импульса ℏ/𝑚 стала очень малой. Выберем для этого ширину щели настолько большой, чтобы величиной 1/𝑚² можно было пренебречь. Тогда амплитуда может быть записана в виде
ψ(𝑥)≈
const⋅exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚𝑣0
ℏ
𝑥-
𝑖𝑚𝑣0²
2ℏ
τ
⎫
⎪
⎭
.
(3.38)
Это весьма важный результат: если мы создали условия, при которых известно, что импульс частицы равен 𝑝, то амплитуда вероятности достижения ею точки 𝑥 в момент времени 𝑡
ψ(𝑥)≈
const⋅exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑝𝑥-
𝑖
ℏ
𝑝²
2𝑚
𝑡
⎫
⎪
⎭
.
(3.39)
Мы видим, что это волна с определённым волновым числом 𝑘=𝑝/ℏ. Кроме того, она имеет определённую частоту ω=𝑝²/2𝑚ℏ. Следовательно, можно утверждать, что в квантовой механике свободная частица с импульсом 𝑝 обладает энергией, определяемой как произведение частоты на постоянную ℏ, которая, так же как и в классической механике, равна 𝑝²/2𝑚.
Вероятность попадания в какую-либо точку 𝑝, пропорциональная квадрату модуля соответствующей амплитуды, в этом случае оказывается не зависящей от 𝑝. Следовательно, точное знание скорости частицы означает, что о её положении ничего не известно. При выполнении эксперимента, который даёт нам точное значение скорости частицы, утрачивается возможность точного определения её положения. Мы уже видели, что справедливо и обратное утверждение. Существование квантовомеханического уширения, обратно пропорционального ширине щели 2𝑏, означает, что точное знание положения частицы исключает всякие сведения о её скорости. Таким образом, если вы знаете, где частица находится, то не можете сказать, как быстро она движется; если же вам известно, как быстро она движется, то нельзя сказать, где она. Это ещё одна иллюстрация принципа неопределённости.
§ 3. Результаты в случае щели с резкими краями
От предельного случая вернёмся теперь к случаю, когда ширина щели и квантовомеханическое уширение сравнимы по их величине, а времена и расстояния не слишком велики. Мы уже видели, что гауссова щель приводит к гауссову распределению. Если использовать более реальную щель с резкими краями и вычислить возникающие интегралы Френеля, то распределение вероятности спустя время τ после прохождения щели подобно кривым, изображённым на фиг. 3.6.
Фиг. 3.6. Распределение электронов после прохождения щелей с резкими краями и различной шириной.
В каждом случае вертикальной пунктирной линией показана предсказываемая классической теорией ширина распределения 𝑏1=𝑏(1+τ/𝑇). Для отношения классической ширины распределения к квантовомеханическому уширению Δ𝑥1 выбраны три различных значения: 𝑏1/Δ𝑥1 = 15 — кривая a; 𝑏1/Δ𝑥1 = 1 — кривая б; 𝑏1/Δ𝑥1 = 1/15 — кривая в. В каждом случае распределение простирается за границы классической ширины. Среднеквадратичная ширина распределения приблизительно пропорциональна величине Δ𝑥=[(Δ𝑥1)²+(𝑏1)²]½.
Это распределение выражается формулой
𝑃(𝑥)𝑑𝑥=
𝑚
2πℏ(τ+𝑇)
⎧
⎨
⎩
½[𝐶(𝑢
1
)-𝐶(𝑢
2
)]²+
+½[𝑆(𝑢
1
)-𝑆(𝑢
2
)]²
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥,
(3.40)
где
𝑢
1
=
𝑥-τ𝑣0-𝑏(1+τ/𝑇)
(πℏτ/𝑚)(1+τ/𝑇)
, 𝑢
2
=