∞
∫
-∞
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
3
,𝑡
3
)
ψ(𝑥
3
,𝑡
3
)
𝑑𝑥
3
.
(3.42)
Этот результат можно сформулировать на физическом языке. Полная амплитуда перехода в точку (𝑥2,𝑡2) [т.е. ψ(𝑥2,𝑡2)] представляет собой сумму, или интеграл, по всем возможным значениям 𝑥3 от произведения полной амплитуды перехода в точку (𝑥3,𝑡3)[т.е. ψ(𝑥3,𝑡3)] на амплитуду перехода из точки 3 в точку 2 [т.е. 𝐾(𝑥2,𝑡2;𝑥3,𝑡3)]. Это означает, что влияние всей предыдущей истории частицы может быть выражено всего лишь через одну функцию. Даже если бы мы забыли все, что знали о частице, кроме её волновой функции в некоторый определённый момент времени, тем не менее могли бы предсказать все, что будет происходить с этой частицей в дальнейшем. Влияние всей предыдущей истории на будущее Вселенной могло бы быть получено из одной всеобъемлющей волновой функции.
Задача 3.4. Пусть в момент времени 𝑡=0 свободная частица имеет некоторый определённый импульс [т.е. её волновая функция равна 𝐶 exp (𝑖𝑝𝑥/ℏ)]. Покажите с помощью соотношений (3.3) и (3.42), что в некоторый более поздний момент времени частица имеет тот же импульс [т.е. что волновая функция зависит от 𝑥 через экспоненту exp (𝑖𝑝𝑥/ℏ)] и изменяется в зависимости от времени как exp [(-𝑖𝑝²/2𝑚ℏ]. Это означает, что частица обладает определённой энергией 𝑝²/2𝑚.
Задача 3.5. Используя результаты решения задачи (3.2) и соотношение (3.42), покажите, что волновая функция удовлетворяет уравнению
-
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=-
ℏ²
2𝑚
∂²ψ
∂𝑥²
(3.43)
которое является уравнением Шрёдингера для случая свободной частицы.
§ 5. Интегралы Гаусса
Мы закончили физическую часть данной главы и перейдём теперь к математическим вопросам. Введём дополнительный математический аппарат, который в некоторых случаях поможет нам вычислить сумму по траектории.
Наиболее простыми являются те интегралы по траекториям, в которых показатель экспоненты содержит переменные в степени не выше второй. Мы будем называть такие интегралы гауссовыми. В квантовой механике это соответствует случаю, когда действие 𝑆 является квадратичной формой от траектории 𝑥(𝑡).
Чтобы проиллюстрировать, как действует в этом случае наш метод, рассмотрим частицу, лагранжиан которой имеет вид
𝐿=
𝑎(𝑡)𝑥̇²+
𝑏(𝑡)𝑥̇𝑥+
𝑐(𝑡)𝑥²+
𝑑(𝑡)𝑥̇+
𝑒(𝑡)𝑥+
𝑓(𝑡).
(3.44)
Действие представляет собой интеграл по времени от этой функции между двумя фиксированными конечными точками. Фактически лангранжиан в этой форме является несколько более общим, чем это необходимо. В тех членах, где множитель 𝑥̇ входит линейно, он может быть исключён интегрированием по частям, однако это обстоятельство сейчас для нас несущественно. Мы хотим определить
𝐾(𝑏,𝑎)=
𝑏
∫
𝑎
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑡)
(3.45)
— интеграл по всем траекториям, соединяющим точки (𝑥𝑎,𝑡𝑎) и (𝑥𝑏,𝑡𝑏).
Конечно, можно выполнить интегрирование по всем этим траекториям тем способом, который был описан вначале, т.е. путём разбиения области интегрирования на короткие временные интервалы и т. д. Пригодность этого способа для вычислений следует из того, что подынтегральное выражение представляет собой экспоненту от квадратичной формы переменных 𝑥̇ и 𝑥. Такие интегралы всегда могут быть вычислены. Однако мы не будем проводить эти утомительные вычисления, так как наиболее важные характеристики ядра 𝐾 можно определить следующим образом.
Пусть 𝑥(𝑡) — классическая траектория между некоторыми фиксированными конечными точками. Это — путь, вдоль которого действие 𝑆 экстремально. В обозначениях, которые мы применяли ранее,
𝑆
кл
[𝑏,𝑎]
=
𝑆[
𝑥
(𝑡)].
(3.46)
Величину 𝑥 можно выразить через 𝑥 и новую переменную 𝑦