𝑥=
𝑥
+𝑦.
(3.47)
Это означает, что каждая точка на траектории определяется уже не её расстоянием 𝑥(𝑡) от произвольной координатной оси, а отклонением 𝑦(𝑡) от классической траектории, как это показано на фиг. 3.7.
Фиг. 3.7. Разность между классической траекторией 𝑥(𝑡) и одной из альтернативных траекторий 𝑥(𝑡), описываемая функцией 𝑦(𝑡).
Поскольку обе эти траектории должны совпадать в начальной и конечной точках, то 𝑦(𝑡𝑎) = 𝑦(𝑡𝑏) = 0. Между этими крайними точками функция 𝑦(𝑡) может иметь любой вид. Так как классическая траектория полностью фиксирована, то любое изменение альтернативной траектории 𝑥(𝑡) эквивалентно соответствующей вариации разностной функции 𝑦(𝑡). Поэтому в интеграле по траекториям дифференциал 𝒟𝑥(𝑡) можно заменить на 𝒟𝑦(𝑡), а траекторию 𝑥(𝑡) — на 𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡).
При интегрировании по траекториям величина 𝑥(𝑡) остаётся в этом случае постоянной. Кроме того, описывающая траекторию новая переменная 𝑦(𝑡) ограничена тем, что в крайних точках она равна нулю. Указанная подстановка приводит к интегралу по траекториям, не зависящему от положения крайних точек 𝑎 и 𝑏.
В каждый момент времени 𝑡 переменные 𝑥 и 𝑦 различаются на постоянную величину 𝑥 (конечно, для разных моментов времени эта постоянная различна). Поэтому 𝑑𝑥𝑖=𝑑𝑦𝑖 для каждой выделенной точки 𝑡𝑖. В общем можно сказать, что 𝒟𝑥(𝑡)=𝒟𝑦(𝑡).
Интеграл действия можно записать в виде
𝑆[𝑥(𝑡)]=
𝑆[
𝑥
(𝑡)+𝑦(𝑡)]=
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
[𝑎(𝑡)+(
𝑥
̇²+
2
𝑥
̇𝑦̇+
𝑦̇²)+…]𝑑𝑡.
(3.48)
Если сгруппировать все члены, не содержащие 𝑦, то в результате интегрирования получим 𝑆[𝑥(𝑡)]=𝑆кл. Интеграл от суммы членов, пропорциональных первой степени 𝑦, равен нулю. Это может быть проверено непосредственным интегрированием (для этого требуется выполнить интегрирование по частям), однако такое вычисление не обязательно, так как мы уже знаем, что результат правилен. Действительно, функция 𝑥(𝑡) выбрана таким образом, что вариации траектории в первом порядке вблизи 𝑥(𝑡) не изменяют действие 𝑆. Все, что остаётся, имеет второй порядок по у и легко отделяется, так что можно написать
𝑆[𝑥(𝑡)]=
𝑆
кл
[𝑏,𝑎]+
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
[𝑎(𝑡)𝑦̇²+
𝑏(𝑡)𝑦̇𝑦+
𝑐(𝑡)𝑦²]𝑑𝑡.
(3.49)
Интеграл по траекториям не зависит от вида классической траектории, поэтому ядро можно представить в виде
𝐾(𝑏,𝑎)=
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
кл
[𝑏,𝑎]
⎫
⎪
⎭
×
×
0
∫
0
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
[𝑎(𝑡)𝑦̇²+
𝑏(𝑡)𝑦̇𝑦+
𝑐(𝑡)𝑦²]𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑦(𝑡).
(3.50)
Так как в начальных и конечных точках всех траекторий 𝑦=0, то интеграл по траекториям может быть представлен функцией только от моментов времени в конечных точках. Это означает, что ядро можно записать в виде
𝐾(𝑏,𝑎)=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆кл[𝑏,𝑎]
𝐹(𝑡
𝑎
,𝑡
𝑏
),
(3.51)
т.е. оно определяется с точностью до функции, зависящей от 𝑡𝑎 и 𝑡𝑏. В частности, его зависимость от пространственных переменных 𝑥𝑎 и 𝑥𝑏 оказывается полностью выясненной. Необходимо отметить, что зависимость ядра от коэффициентов при линейных членах 𝑑(𝑡) и 𝑒(𝑡) от свободного члена 𝑓(𝑡) также полностью известна.
Такое положение представляется характерным для различных методов вычисления интегралов по траекториям; при помощи общих приёмов могут быть получены многие результаты, однако оказывается, что часто не удаётся полностью определить экспоненциальный коэффициент. Он должен отыскиваться из других известных свойств решения, например посредством соотношения (2.31).
Интересно отметить, что приближённое выражение 𝐾~exp(𝑖𝑆кл/ℏ) является точным в случае, когда 𝑆 представляет собой квадратичную форму.