Задача 3.6. Учитывая, что лагранжиан свободной частицы является квадратичной формой, покажите, что
𝐾(𝑏,𝑎)=
𝐹(𝑡
𝑎
,𝑡
𝑏
)
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚(𝑥𝑏-𝑥𝑎)²
2ℏ(𝑡𝑏-𝑡𝑎)
⎤
⎥
⎦
(3.52)
(см. задачу 2.1), и приведите соображения в пользу того, что функция 𝐹 может зависеть только от разности 𝐹=𝐹(𝑡𝑏-𝑡𝑎).
Задача 3.7. Дальнейшая информация о функции 𝐹 может быть получена на основе свойства, выраженного равенством (2.31). Прежде всего заметим, что результаты решения задачи 3.6 позволяют записать функцию 𝐹(𝑡𝑏-𝑡𝑎) как 𝐹(𝑡), где 𝑡 — интервал времени (𝑡𝑏-𝑡𝑎). Используя это представление функции 𝐹 в выражении (3.52) и подставляя последнее в равенство (2.31), выразите функцию 𝐹(𝑡+𝑠) через 𝐹(𝑡) и 𝐹(𝑠), где 𝑡=𝑡𝑏-𝑡𝑐 и 𝑠=𝑡𝑐-𝑡𝑎. Покажите, что если функцию 𝐹 записать в виде
𝐹(𝑡)=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑡
⎫½
⎪
⎭
𝑓(𝑡),
(3.53)
то новая функция 𝑓(𝑡) должна удовлетворять уравнению
𝑓(𝑡+𝑠)
=
𝑓(𝑡)𝑓(𝑠).
(3.54)
Это означает, что 𝑓(𝑡) должна иметь вид
𝑓(𝑡)=𝑒
𝑎𝑡
,
(3.55)
где 𝑎 может быть комплексной величиной, т.е. 𝑎=α+𝑖β. Из изложенных до сих пор принципов трудно получить большую информацию о функции 𝑓(𝑡). Однако специальный выбор нормировочной константы 𝐴, как это указано в (2.21), означает, что в первом приближении по ε функция 𝑓(ε)=1. Это соответствует тому, что величина 𝑎 в выражении (3.55) полагается равной нулю. Окончательный вид функции 𝐹(𝑡) согласуется с выражением (3.3).
Из этого примера ясно, каким образом можно установить важные свойства интегралов по траекториям, даже если подынтегральные выражения являются весьма сложными функциями. Во всех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой экспоненциальную функцию, зависящую от траектории в степени не выше второго порядка, можно получить полное решение, исключая, может быть, лишь некоторые простые множители. Это остаётся верным независимо от числа переменных. Так, например, интеграл по траекториям вида
𝑏
∫
𝑎
𝑑
∫
𝑐
…
𝑙
∫
𝑘
exp{𝐸[𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),…,𝑧(𝑡)]}
𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)…𝒟𝑧(𝑡)
(3.56)
содержит в качестве определяющего сомножителя экспоненту exp (𝐸кл), где 𝐸кл — экстремальное значение 𝐸, определяемое граничными условиями. Единственное ограничение состоит в том, что величина 𝐸 является функцией второго порядка от переменных 𝑥, 𝑥 и т.д. Остающийся сомножитель представляет собой функцию времени в конечных точках траекторий. Для большинства интегралов, которые мы будем изучать, наиболее существенная информация содержится в основном в экспоненциальном члене, а не в этом сомножителе, который в большинстве практических случаев нам даже не потребуется вычислять. Такой метод вычисления интегралов по траекториям будет часто использоваться в последующих главах.
§ 6. Движение в потенциальном поле
Простое применение наш метод находит в классическом пределе, когда действие 𝑆 очень велико по сравнению с постоянной Планка ℏ. Как мы уже подчёркивали, ядро 𝐾 в этом случае приблизительно пропорционально экспоненте exp (-𝑖𝑆кл/ℏ). Мы можем теперь математически более строго рассмотреть обоснования такого приближения. Поскольку существенными являются лишь траектории, которые очень близки к классической траектории 𝑥, сделаем подстановку 𝑥=𝑥+𝑦. Тогда, если частица движется в потенциальном поле 𝑉(𝑥), мы можем записать
𝑉(𝑥)=
𝑉(
𝑥
+𝑦)=
𝑉(
𝑥
)+
𝑦𝑉'(
𝑥
)+
𝑦²
2
𝑉''(
𝑥
)+
𝑦³
6
𝑉'''(
𝑥
)+
…,
(3.57)
где штрих обозначает дифференцирование по 𝑥 и все производные вычисляются в точках классической траектории 𝑥. Так как важны лишь малые значения 𝑦, будем предполагать, что 𝑉 — достаточно гладкая функция, так что можно пренебречь членами порядка 𝑦³ и выше. Это означает, что член 𝑦³𝑉''' и все члены более высокого порядка пренебрежимо малы по сравнению с удержанными членами.