𝐾=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫
⎪
⎭
3/2
ω𝑇/2
sin ω𝑇/2
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚ω
2ℏ
⎧
⎨
⎩
(𝑧𝑏-𝑧𝑎)²
𝑇
+
+
ω
2
ctg
ω𝑇
2
[(𝑥
𝑏
-𝑥
𝑎
)²+
(𝑦
𝑏
-𝑦
𝑎
)²]+
ω(𝑥
𝑎
𝑦
𝑏
-
𝑥
𝑏
𝑦
𝑎
)
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
,
(3.64)
где 𝑇=𝑡𝑏-𝑡𝑎 и ω=𝑒𝐵/𝑚𝑐.
Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой 𝑓(𝑡). Его лагранжиан
𝐿=
𝑚
2
𝑥̇²-
𝑚ω²
2
𝑥²+
𝑓(𝑡)𝑥.
(3.65)
Покажите, что ядро определяется выражением
𝐾=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2π𝑖ℏ sin ω𝑇
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
кл
⎫
⎪
⎭
,
где
𝑆
кл
=
𝑚ω
2 sin ω𝑇
⎡
⎢
⎣
(cos ω𝑇)(𝑥
2
𝑏
+𝑥
2
𝑎
)-2𝑥
𝑏
𝑥
𝑎
+
+
2𝑥𝑏
𝑚ω
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑓(𝑡) sin ω(𝑡-𝑡
𝑎
)𝑑𝑡+
2𝑥𝑎
𝑚ω
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑓(𝑡) sin ω(𝑡
𝑏
-𝑡)𝑑𝑡-
-
2
𝑚²ω²
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑡
∫
𝑡𝑎
𝑓(𝑡)𝑓(𝑠) sin ω
(𝑡
𝑏
-𝑡) sin ω
(𝑠-𝑡
𝑎
)
𝑑𝑠𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
(3.66)
и 𝑇=𝑡𝑏-𝑡𝑎.
Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит своё применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов.
Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при 𝑡=0
ψ(𝑥,0)=exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥-𝑎)²
⎤
⎥
⎦
,
(3.67)
то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что
ψ(𝑥,𝑡)=exp
⎧
⎨
⎩
-
𝑖ω𝑇
2
-
𝑚ω
2ℏ
⎡
⎢
⎣
𝑥²-2𝑎𝑥𝑒
-𝑖ω𝑇
+½𝑎²(1+𝑒
-2𝑖ω𝑇
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
(3.68)
и найдите распределение вероятности |ψ|².
§ 7. Системы с многими переменными 1)
1) См. работу[4].
Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ 𝑥(𝑡) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.
В качестве первого примера мы рассмотрим трёхмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) и 𝑧(𝑡). В частности, для свободной частицы действие равно
𝑚
2
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
[𝑥̇(𝑡)²+
𝑦̇(𝑡)²+
𝑧̇(𝑡)²]
𝑑𝑡.
Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (𝑥𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧𝑎) в момент времени 𝑡𝑎 в конечную точку (𝑥𝑏, 𝑦𝑏, 𝑧𝑏) и момент времени 𝑡𝑎,
𝐾(
𝑥
𝑏
, 𝑦
𝑏
, 𝑧
𝑏
, 𝑡
𝑏