При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от 𝐱, и другого, зависящего только от 𝐗:
𝐾(
𝐱
𝑏
, 𝐗
𝑏
, 𝑡
𝑏
;
𝐱
𝑎
, 𝐗
𝑎
, 𝑡
𝑎
)=
=
𝑏
∫
𝑎
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
{𝑆
𝑥
[𝐱]+𝑆
𝑋
[𝐗]}
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟³𝐱(𝑡)𝒟³𝐗(𝑡)=
=
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
𝑥
[𝐱]
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝐱(𝑡)
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
𝑋
[𝐗]
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝐗(𝑡)=
=
𝐾
𝑥
(
𝐱
𝑏
, 𝑡
𝑏
;
𝐱
𝑎
, 𝑡
𝑎
)
𝐾
𝑋
(
𝐗
𝑏
, 𝑡
𝑏
;
𝐗
𝑎
, 𝑡
𝑎
).
(3.73)
Ядро 𝐾𝑥 здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой 𝐱, и аналогичным образом определяется ядро 𝐾𝑋. Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.
В случае нескольких частиц волновая функция ψ(𝐱,𝐗,…,𝑡) определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени 𝑡 одна частица находится в точке 𝑥, другая — в точке 𝐗 и т.д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке 𝐱, другая—в точке 𝐗 и т. д. Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить:
ψ(𝐱,𝐗,…,𝑡)
=
∫∫
𝐾
(𝐱,𝐗,…,𝑡;𝐱',𝐗',…,𝑡')×
×
ψ(𝐱',𝐗',…,𝑡')
𝑑𝐱'
𝑑𝐗'
,
(3.74)
где 𝑑𝐱' — произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство 𝐱'.
Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат 𝐱 и 𝐗, ядро 𝐾 является произведением двух функций, одна из которых зависит от 𝐱 и 𝑡, а другая же — от 𝐗 и 𝑡. Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция ψ вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определённый момент времени ψ является произведением функции от 𝐱 на функцию от 𝐗, т.е. ψ=𝑓(𝐱)𝑔(𝐗), то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро 𝐾 описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция ψ уже не будет простым произведением.
Если даже в первоначальной системе координат действие 𝑆 и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные. Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее переменные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом, часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести сложную задачу к ряду более простых.