§ 9. Интеграл по траекториям как функционал
Если задача описывается более чем одной переменной и если разделить эти переменные невозможно, то анализ обычно становится очень трудным. Ниже мы рассмотрим приближённые методы, применяемые в этом случае; сейчас же изложим один очень сильный метод, который иногда удаётся применить. Рассмотрим ядро, заданное выражением (3.71). Более подробно его можно записать как
𝐾(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡+
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑀
2
𝑋̇²
𝑑𝑡+
+
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉(𝑥,𝑋,𝑡)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑋(𝑡).
(3.75)
Предположим, что мы сначала выполнили интегрирование по траекториям 𝑋(𝑡). Результат формально можно записать в виде
𝐾(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚
2
𝑥̇²
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑇[𝑥(𝑡)]𝒟𝑥(𝑡),
(3.76)
где
𝑇[𝑥(𝑡)]
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑀
2
𝑋̇²+
𝑉(𝑥,𝑋,𝑡)
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑡𝒟𝑋(𝑡).
(3.77)
Полученные выражения интерпретируются следующим образом. Интегрирование по всем траекториям, возможным для частицы 𝑋, даёт функционал 𝑇. Функционал является числом и его величина зависит от вида всей функции. Например, ограниченная кривой площадь 𝐴=∫𝑓(𝑦)𝑑𝑦 является функционалом этой кривой. Для того чтобы найти эту площадь, необходимо задать функцию (кривую). Функционал мы записываем в виде 𝐴[𝑓(𝑦)], чтобы показать, что 𝐴 зависит от функции 𝑓(𝑦). Мы не пишем 𝐴(𝑓(𝑦)), поскольку под такой записью можно понимать функцию от функции, т.е. считать, что 𝐴 зависит только от того, какое значение принимает 𝑓 в некоторой определённой точке 𝑦. Это не тот случай. Величина 𝐴[𝑓(𝑦)] зависит от вида всей функции 𝑓(𝑦), но не зависит непосредственно от 𝑦.
Функционал, определённый выражением (3.77), представляет собой амплитуду вероятности того, что под воздействием потенциала 𝑉 из точки 𝑋𝑎 в точку 𝑋𝑏 переходит лишь одна частица 𝑋. При вычислении этот потенциал берётся в предположении, что 𝑥 фиксировано, в то время как 𝑋 изменяется. Таким образом, это потенциал для частицы 𝑋, когда частица 𝑥 движется вдоль некоторой определённой траектории. Ясно, что амплитуда 𝑇 зависит от выбора траектории 𝑥(𝑡), поэтому мы и записываем её в виде функционала от 𝑥(𝑡). Полную амплитуду мы получим, просуммировав функционал, состоящий из произведения амплитуды 𝑇 на ядро, отвечающее свободной частице, по всем траекториям 𝑥(𝑡).
Таким образом, амплитуда 𝐾, как и все другие, представляет собой сумму амплитуд по всем возможным альтернативам. В свою очередь каждая из этих амплитуд является произведением двух: одной — отвечающей движению частицы 𝑋 между заданными конечными точками, когда траектория 𝑥(𝑡) фиксирована, и другой — амплитуды вероятности того, что частица 𝑥 движется именно по этой фиксированной траектории. Конечная сумма по всем альтернативам становится суммой по всем траекториям 𝑥(𝑡). Важно чётко усвоить эту концепцию, так как она содержит в себе один из фундаментальных принципов квантовой электродинамики, изложение которой займёт одну из последующих глав.