𝑎
⎧
⎪
⎩
exp
𝑖
ℏ
⎧
⎨
⎩
𝑚
2
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝐱̇(𝑡)²
𝑑𝑡-
-
1
𝑚ω sin ω𝑇
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]
𝑔[𝐱(𝑠),𝑠]
×
×
sin ω(𝑡
𝑎
-𝑡)
sin ω(𝑠-𝑡
𝑎
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝐱(𝑡).
(3.82)
В случае произвольных значений 𝐗𝑎, 𝐗𝑏 выражение для 𝐾 будет аналогичным, но более сложным.
Этот интеграл по траекториям сложнее любого из тех, с которыми мы до сих пор сталкивались, и продвинуться дальше в его вычислении невозможно до тех пор, пока мы не рассмотрим (в последующих главах) различные приближённые методы. Заметим лишь, что подынтегральное выражение по-прежнему можно записывать как exp[(𝑖/ℏ)/𝑆], однако действие 𝑆 теперь уже не является функцией только переменных 𝐱̇, 𝐱 и 𝑡, оно содержит произведение величин, определяемых в два различных момента времени: 𝑠 и 𝑡. Разделение на прошлое и будущее уже невозможно. Обусловлено это тем, что в некоторый предыдущий момент времени частица действует на осциллятор, который в дальнейшем сам воздействует на эту же частицу. Нельзя ввести никакую волновую функцию ψ(𝐱,𝑡), выражающую амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡 частица находится в заданной точке 𝐱. Подобной амплитуды было бы недостаточно для предсказания будущего, поскольку для этого нужно знать также, что происходит с осциллятором в любой момент времени 𝑡.
§11. Вычисление интегралов по траекториям с помощью рядов Фурье
Рассмотрим интеграл по траекториям для случая гармонического осциллятора (см. задачу 3.8). Этот интеграл имеет вид
𝐾(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚
2
(𝑥̇²-ω²𝑥²)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑥(𝑡).
(3.83)
С помощью методов, изложенных в § 5, этот интеграл по траекториям, как и в задаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее важная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, приведена в равенстве (3.60). Эту функцию можно записать как
𝐹(𝑇)
=
0
∫
0
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑇
∫
0
𝑚
2
(𝑦̇²-ω²𝑦²)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑦(𝑡).
(3.84)
Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от ω, способом, который иллюстрирует ещё одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки 0 в момент времени 𝑡=0 и возвращаются в эту же точку в момент 𝑡=𝑇, функцию 𝑦(𝑡) можно разложить в ряд Фурье по синусам с основной гармоникой, равной 2π/𝑇:
𝑦(𝑡)=
∑
𝑛
𝑎
𝑛
sin
𝑛π𝑡
𝑇
.
(3.85)
Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени 𝑡 рассматривать траектории как функции от 𝑦, мы можем считать их функциями коэффициентов 𝑎𝑛. Это есть линейное преобразование, якобиан которого 𝐽 является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от ω, 𝑚 и ℏ.
Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от ω (в том числе и 𝐽), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем её значение 𝐹(𝑇)=√𝑚/2π𝑖ℏ𝑇 для ω=0 (случай свободной частицы).
Интеграл для действия может быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической энергии, становится равным