𝑇
∫
0
𝑦̇²
𝑑𝑡
=
∑
𝑛
∑
𝑚
𝑛π
𝑇
𝑚π
𝑇
𝑎
𝑛
𝑎
𝑚
𝑇
∫
0
cos
𝑛π𝑡
𝑇
cos
𝑚π𝑡
𝑇
𝑑𝑡
=
=
𝑇⋅
1
2
∑
𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑛π
𝑇
⎫²
⎪
⎭
𝑎
²
𝑛
(3.86)
и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным
𝑇
∫
0
𝑦²
𝑑𝑡
=
𝑇⋅
1
2
∑
𝑛
𝑎
²
𝑛
(3.87)
Если предположить, что время 𝑇 разделено на интервалы длины ε, как это указано в равенствах (2.19), так что имеется лишь конечное число 𝑁 коэффициентов 𝑎𝑛, то интеграл по траекториям приобретает вид
𝐹(𝑇)
=
𝐽
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
…
∞
∫
-∞
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑁
∑
𝑛=1
𝑖𝑚
2ℏ
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
𝑛π
𝑇
⎫²
⎪
⎭
-ω²
⎤
⎥
⎦
𝑎
²
𝑛
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
×
×
𝑑𝑎1
𝐴
𝑑𝑎2
𝐴
…
𝑑𝑎𝑁
𝐴
.
(3.88)
Поскольку экспонента может быть разбита на сомножители, то можно порознь вычислить интеграл по каждому из коэффициентов 𝑎𝑛. В результате такого интегрирования получим
∞
∫
-∞
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑛²π²
𝑇²
-ω²
⎫
⎪
⎭
𝑎
²
𝑛
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑎𝑛
𝐴
=
⎧
⎪
⎩
𝑛²π²
𝑇²
-ω²
⎫-½
⎪
⎭
.
(3.89)
Таким образом, интеграл по траекториям пропорционален произведению
𝑁
∏
𝑛=1
⎧
⎪
⎩
𝑛²π²
𝑇²
-ω²
⎫-½
⎪
⎭
=
𝑁
∏
𝑛=1
⎧
⎪
⎩
𝑛²π²
𝑇²
⎫-½
⎪
⎭
𝑁
∏
𝑛=1
⎧
⎪
⎩
1-
ω²𝑇²
𝑛²π²
⎫-½
⎪
⎭
.
(3.90)
Первое произведение справа не зависит от ω и объединяется с якобианом и другими сомножителями, которые мы собрали в одну постоянную. Второе произведение стремится к пределу [(sin ω𝑇)/ω𝑇]-½, когда 𝑁→∞, т.е. когда ε→0. Поэтому
𝐹(𝑇)
=𝐶
⎧
⎪
⎩
sin ω𝑇
ω𝑇
⎫-½
⎪
⎭
,
(3.91)
где постоянная 𝐶 не зависит от ω. Но при ω=0 наш интеграл совпадает со случаем свободной частицы, для которого мы уже нашли, что
𝐹(𝑇)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫½
⎪
⎭
.
(3.92)
Следовательно, для гармонического осциллятора имеем