ψ(𝑥,𝑡+ε)
=
∞
∫
-∞
1
𝐴
exp
⎡
⎢
⎣
ε
𝑖
ℏ
𝐿
⎧
⎪
⎩
𝑥-𝑦
ε
,
𝑥+𝑦
2
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑦.
(4.3)
Применим теперь это выражение к частному случаю одномерного движения частицы под воздействием потенциала 𝑉(𝑥,𝑡), т.е. к случаю, когда 𝐿=(𝑚𝑥̇²/2)-𝑉(𝑥,𝑡). Соотношение (4.3) тогда запишется в виде
ψ(𝑥,𝑡+ε)
=
∞
∫
-∞
1
𝐴
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑚(𝑥-𝑦)²
2ε
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
ε𝑉
⎧
⎪
⎩
𝑥+𝑦
2
,𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑦.
(4.4)
В показателе первой экспоненты появляется величина (𝑥-𝑦)²/ε. Ясно, что если 𝑦 заметно отличается от 𝑥, то эта величина очень велика и, следовательно, при изменении 𝑦 экспонента быстро осциллирует. Область осцилляций первого сомножителя даёт очень малый вклад в интеграл (вследствие слабого изменения всех других величин). Существенный вклад дают лишь значения 𝑦, близкие к 𝑥, когда экспонента изменяется более медленно. На этом основании сделаем подстановку 𝑦=𝑥+η, имея в виду, что заметные вклады в интеграл будут получаться лишь при малых η. После подстановки получаем
ψ(𝑥,𝑡+ε)
=
∞
∫
-∞
1
𝐴
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚η²
2ℏε
⎫
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖ε
ℏ
𝑉
⎧
⎪
⎩
𝑥+
η
2
,𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
ψ[(𝑥+η),𝑡]
𝑑η.
(4.5)
Фаза первой экспоненты изменяется примерно на радиан, когда η порядка √εℏ/𝑚, так что наибольший вклад в интеграл получится в области именно таких значений η.
Функцию ψ мы можем разложить в степенной ряд, причём необходимо удержать лишь члены порядка ε. Это обеспечивает сохранение членов второго порядка по η. Величину ε𝑉[(𝑥+η/2),𝑡] можно заменить на ε𝑉(𝑥,𝑡), поскольку возникающие при этом ошибки более высокого порядка малости, чем ε. Ограничиваясь в левой части соотношения (4.5) первым порядком по ε, а в правой — первым порядком по ε и вторым по η, получаем
ψ(𝑥,𝑡)
+
ε
∂ψ
∂𝑡
=
∞
∫
-∞
1
𝐴
𝑒
𝑖𝑚η²/2ℏε
⎡
⎢
⎣
1-
𝑖ε
ℏ
𝑉(𝑥,𝑡)
⎤
⎥
⎦
×
×
⎡
⎢
⎣
ψ(𝑥,𝑡)
+η
∂ψ
∂𝑥
+
1
2
η²
∂²ψ
∂𝑥²
⎤
⎥
⎦
𝑑η.
(4.6)
Если в правой части удержать лишь основной член, то получим произведение функции ψ(𝑥,𝑡) на интеграл
1
𝐴
∞
∫
-∞
𝑒
𝑖𝑚η²/2ℏε
𝑑η
=
1
𝐴
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫½
⎪
⎭
;
(4.7)
в левой же части мы имеем только ψ(𝑥,𝑡). Для того чтобы обе части равенства (4.6) совпадали в пределе при ε, стремящемся к нулю, необходимо выбрать 𝐴 таким образом, чтобы выражение (4.7) равнялось единице. Отсюда следует