∂𝐾(2,1)
∂𝑡2
-𝐻
2
𝐾(2,1)
=-
ℏ
𝑖
δ(𝑥
2
-𝑥
1
)
δ(𝑡
2
-𝑡
1
).
(4.29)
Вместе с граничным условием (4.28) это уравнение могло бы служить определением функции 𝐾(2,1), если уравнение Шрёдингера рассматривать в качестве основы квантовой механики. Величина 𝐾(2,1), очевидно, является одной из разновидностей функции Грина для уравнения Шрёдингера.
Сохранение вероятности. Определённый соотношением (4.15) оператор Гамильтона обладает интересным свойством: если 𝑓 и 𝑔 — две любые функции, которые обращаются в нуль на бесконечности, то
∞
∫
-∞
(𝐻𝑔)*𝑓
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
𝑔*(𝐻𝑓)
𝑑𝑥.
(4.30)
Такая символическая запись означает следующее. В левой части этого равенства мы должны, взяв функцию 𝑔, подействовать на неё оператором 𝐻, получить 𝐻𝑔 и проделать комплексное сопряжение. Полученный результат умножается затем на 𝑓 и интегрируется по всему пространству. Если же образовать величину 𝐻𝑓, умножить её на функцию, комплексно-сопряжённую 𝑔, и проинтегрировать в тех же пределах, получится тот же самый результат. Легко проверить, что это будет именно так, если вычислить выражение ∫(𝐻𝑔)*𝑓𝑑𝑥 (по частям, где это необходимо).
Если в левую часть тождества (4.30) подставить рассмотренный выше оператор (4.15), то получим
-
ℏ²
2𝑚
∞
∫
-∞
𝑑²𝑔*
𝑑𝑥²
𝑓𝑑𝑥
+
∞
∫
-∞
𝑉𝑔*𝑓𝑑𝑥
=
=-
ℏ²
2𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑔*
𝑑𝑥
𝑓-𝑔*
𝑑𝑓
𝑑𝑥
⎫
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
∞
-∞
-
ℏ²
2𝑚
∞
∫
-∞
𝑔*
𝑑²𝑓
𝑑𝑥²
𝑑𝑥
+
∞
∫
-∞
𝑉𝑔*𝑓𝑑𝑥
(4.31)
(здесь дважды выполнено интегрирование по частям). Если функции 𝑓 и 𝑔 на бесконечности обращаются в нуль, то проинтегрированные члены исчезают и равенство (4.30) доказано. Оператор, обладающий свойством (4.30), называется эрмитовым. Гамильтониан в квантовой механике всегда эрмитов. В более общих случаях, чем рассмотренный выше, интегрирование по одной переменной заменяется интегрированием (или суммированием) по всем переменным системы.
Положив функции 𝑓 и 𝑔 равными ψ(𝑥,𝑡), получим
∫
(𝐻ψ)*ψ
𝑑𝑥
=
∫
ψ*(𝐻ψ)
𝑑𝑥
,
(4.32)
и если функция ψ удовлетворяет волновому уравнению (4.14), то это выражение можно записать как
∫
∂ψ*
𝑑𝑡
ψ𝑑𝑥+
∫
ψ*
∂ψ
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
∂
𝑑𝑡
⎧
⎪
⎩
∫
ψ*ψ
𝑑𝑥
⎫
⎪
⎭
=0.
(4.33)
Отсюда видно, что величина ∫ψ*ψ𝑑𝑥 не зависит от времени. Это легко интерпретировать. Если функция ψ соответствующим образом нормирована, то ψ*ψ выражает вероятность найти систему в точке 𝑥, поэтому интеграл от ψ*ψ равен вероятности вообще обнаружить систему в какой-либо точке пространства. Это вероятность вполне достоверного события, и потому она постоянна и равна единице. Конечно, насколько это касается волнового уравнения, функция ψ может быть умножена на любую постоянную и по-прежнему останется его решением. Квадрат этой константы войдёт в произведение ψ*ψ, и именно ему будет теперь равняться значение интеграла.
В нашем толковании функции ψ как амплитуды вероятности равенство интеграла от ψ*ψ константе является совершенно фундаментальным. На языке функций 𝐾 это означает, что в момент времени 𝑡2 интеграл от квадрата модуля волновой функции имеет ту же самую величину, что и в момент времени 𝑡1 т.е. если
ψ(2)=
∫
𝐾(2,1)
𝑓(1)𝑑𝑥
1
,
(4.34)
то
∫