ψ*(2)ψ(2)𝑑𝑥
2
=
∫
𝑓*(1)𝑓(1)𝑑𝑥
1
,
(4.35)
или
∫
∫
∫
𝐾*(2;𝑥
'
1
,𝑡
1
)
𝐾*(2;𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑓*(𝑥
'
1
)
𝑓(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
'
1
𝑑𝑥
2
=
=
∫
𝑓*(𝑥
1
)
𝑓(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
.
(4.36)
Так как это должно выполняться для любой функции 𝑓, то
∫
𝐾*(2;𝑥
'
1
,𝑡
1
)
𝐾*(2;𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑑𝑥
2
=
δ(𝑥
'
1
-𝑥
1
).
(4.37)
Следовательно, для того чтобы можно было интерпретировать функцию ψ как амплитуду вероятности, необходимо, чтобы ядро 𝐾 удовлетворяло соотношению (4.37). Мы получили это, исходя из уравнения Шрёдингера. Было бы приятнее вывести это соотношение и другие свойства, такие, как (4.38) и результат задачи (4.7), прямо на основе определения ядра 𝐾 как интеграла по траекториям и не переходить к дифференциальному уравнению. Это, конечно, можно сделать, однако в этом случае вывод не будет столь простым и изящным, каким он должен быть для таких важных соотношений. Справедливость (4.37) можно проверить следующим образом: для малого интервала, когда 𝑡1=𝑡2-ε, оно непосредственно следует из выражения exp(𝑖ε𝐿/ℏ) Методом индукции соотношение (4.37) можно далее обобщить для любого интервала. Один из недостатков подхода к квантовой механике, основанного на интегралах по траекториям, состоит в том, что соотношения, включающие такие сопряжённые величины, как ψ* или 𝐾*, не очевидны сами по себе.
Умножая обе части выражения (4.37) на функцию 𝐾(1,3) и интегрируя по переменной 𝑥1 можно показать, что для 𝑡2>𝑡1>𝑡3
∫
𝐾*(2,1)
𝐾(2,3)
𝑑𝑥
2
=
𝐾(1,3).
(4.38)
Сравним это с равенством
∫
𝐾(1,2)
𝐾(2,3)
𝑑𝑥
2
=
𝐾(1,3),
где 𝑡1>𝑡2>𝑡3. Последнее равенство мы можем истолковать следующим образом: если за исходную взята точка 𝑡3, то 𝐾(2,3) даёт нам амплитуду вероятности для более позднего момента времени 𝑡2. Если мы хотим перейти к ещё более позднему моменту времени 𝑡1 то это можно сделать, используя ядро 𝐾(1,2). С другой стороны, если, зная амплитуду в момент времени 𝑡2, мы захотим вернуться назад, чтобы определить её в более ранний момент времени 𝑡1<𝑡2, то это можно сделать, используя ядро 𝐾*(2,1) в соответствии с равенством (4.38). Следовательно, можно сказать, что действие сопряжённого ядра 𝐾*(2,1) компенсирует действие ядра 𝐾(1,2).
Задача 4.7. Покажите, что если 𝑡1<𝑡3, то левая часть равенства (4.38) равна 𝐾*(3,1).
§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времени
Стационарные состояния с определённой энергией. Специальный случай, когда гамильтониан 𝐻 оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие 𝑆, не зависящее явным образом от времени 𝑡 (например, когда потенциалы 𝐀 и 𝑉 не содержат время 𝑡). В таком случае ядро зависит не от переменной времени 𝑡, а будет функцией лишь интервала 𝑡2-𝑡1. Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.
Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шрёдингера (4.14) в виде ψ=𝑓(𝑡)φ(𝑥), т.е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) даёт соотношение
-
ℏ
𝑖
𝑓'(𝑡)φ(𝑥)
=
𝐻𝑓(𝑡)φ(𝑥)
=
𝑓(𝑡)𝐻φ(𝑥),
(4.39)
или
-
ℏ
𝑖
𝑓'
𝑓
=
1
φ
𝐻φ.