(4.40)
Левая часть этого уравнения не зависит от 𝑥, тогда как правая не содержит зависимости от 𝑡. Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых 𝑥 и 𝑡, обе его части не должны зависеть от этих переменных, т.е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через 𝐸. Тогда
𝑓'=
-
𝑖
ℏ
𝐸𝑓,
или
𝑓=
𝑒
-𝑖𝐸𝑡/ℏ
с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
ψ(𝑥,𝑡)
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑡
φ(𝑥),
(4.41)
где функция φ удовлетворяет уравнению
𝐻φ
=
𝐸φ,
(4.42)
а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определённой частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определённой энергией 𝐸. Каждому значению энергии 𝐸 соответствует своя особая функция φ — частное решение уравнения (4.42).
Вероятность того, что частица находится в точке 𝑥, задаётся квадратом модуля волновой функции ψ, т.е. |ψ|². В силу равенства (4.41) эта вероятность равна |φ|² и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии — стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.
Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределённости, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна 𝐸, время должно быть полностью неопределённым. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определённом состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.
Пусть 𝐸1 — значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение φ1 и 𝐸2 — другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению φ2. Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шрёдингера, а именно:
φ
1
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡
φ
1
(𝑥)
и
ψ
2
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸2𝑡
φ
2
(𝑥);
(4.43)
так как уравнение Шрёдингера линейно, то ясно, что наряду с ψ его решением будет и 𝑐ψ. Кроме того, если ψ1 и ψ2 — два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция
ψ=
𝑐
1
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡
φ
1
(𝑥)
+
𝑐
2
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸2𝑡
φ
2
(𝑥)
(4.44)
тоже будет решением уравнения Шрёдингера.
Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии 𝐸 и найдены соответствующие им функции φ то любое решение ψ уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определённым значениям энергии.
Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях 𝑐1 и 𝑐2. Поэтому, используя для функции ψ выражение (4.44) получаем
∫
ψ*ψ
𝑑𝑥
=
𝑐
*
1
𝑐
2
∫
|φ
1
|²
𝑑𝑥
+
𝑐
*
1
𝑐
2
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
1
-𝐸
2
)𝑡
⎤
⎥
⎦
∫
φ
*
1
φ
2
𝑑𝑥
+
+
𝑐
1
𝑐
*
2
exp-
𝑖
ℏ
(𝐸
1
-𝐸
2
)𝑡
∫
φ
1
φ
*