2
𝑑𝑥
+
𝑐
*
2
𝑐
2
∫
φ
*
2
φ
2
𝑑𝑥.
(4.45)
Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т.е. члены, содержащие экспоненты exp[±(𝑖/ℏ)(𝐸1-𝐸2)𝑡] должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов 𝑐1 и 𝑐2. Это означает, что
∞
∫
-∞
φ
*
1
φ
2
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
φ
1
φ
*
2
𝑑𝑥
=0.
(4.46)
Если две функции 𝑓 и 𝑔 удовлетворяют соотношению
∫
𝑓*𝑔
𝑑𝑥
=0,
то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.
Ниже будет дана интерпретация выражений типа ∫𝑓*𝑔𝑑𝑥, и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию 𝐸 [и, следовательно, её волновая функция ψ1=exp(𝑖𝐸1𝑡/ℏ)φ1], то вероятность обнаружить у неё другое значение энергии 𝐸2 [т.е. волновую функцию exp(𝑖𝐸2𝑡/ℏ)φ2] должна равняться нулю.
Задача 4.8. Покажите, что когда оператор 𝐻 эрмитов, то собственное значение 𝐸 вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) 𝑓=𝑔=φ1].
Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор 𝐻 эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите 𝑓=φ2, 𝑔=φ1].
Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней 𝐸𝑛, не только ортогональны, но также и нормированы т.е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям 𝑥 равен единице:
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑥)
φ
𝑚
(𝑥)
𝑑𝑥
=
δ
𝑛𝑚
,
(4.47)
где δ𝑛𝑚 — символ Кронекера, определяемый равенствами δ𝑛𝑚=0, если 𝑛≠𝑚, и δ𝑛𝑛=1. Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шрёдингера:
𝑓(𝑥)=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
φ
𝑛
(𝑥).
(4.48)
Коэффициенты 𝑎𝑛 легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряжённые функции φ*2(𝑥) и интегрируя по 𝑥, получаем
∞
∫
-∞
φ
*
𝑚
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
∞
∫
-∞
φ
*
𝑚
φ
𝑛
𝑑𝑥
=
𝑎
𝑚
(4.49)
и, следовательно,
𝑎
𝑛
=
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑥)𝑓(𝑥)
𝑑𝑥.
(4.50)
Таким образом мы получили тождество
𝑓(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑦)𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
≡
∞
∫
-∞
⎡
⎢
⎣
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦)
⎤
⎥
⎦
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦.
(4.51)
Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения δ-функции: