δ(𝑥-𝑦)=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦).
(4.52)
Ядро 𝐾 можно выразить через функции φ𝑛 и значения энергии 𝐸𝑛. Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени 𝑡2, если она нам известна в момент времени 𝑡1. Так как она является решением уравнения Шрёдингера, то при любом 𝑡 её, как и всякое его решение, можно записать в виде
ψ(𝑥,𝑡)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡
φ
𝑛
(𝑥).
(4.53)
Но в момент времени 𝑡1
𝑓(𝑥)
=
ψ(𝑥,𝑡
1
)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡1
φ
𝑛
(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
(𝑥)
φ
𝑛
(𝑥)
,
(4.54)
поскольку мы всегда можем представить 𝑓(𝑥) в виде ряда (4.48). Отсюда следует, что
𝑐
𝑛
=
𝑎
𝑛
𝑒
+(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡1
.
(4.55)
Подставив это в выражение (4.53), будем иметь
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡2
φ
𝑛
(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
+
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
1
-𝑡
2
)
⎤
⎥
⎦
φ
𝑛
(𝑥).
(4.56)
Используя теперь для коэффициентов 𝑎𝑛 выражение (4.50), получаем
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑦)
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
=
=
∞
∫
-∞
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
.
(4.57)
Эта формула выражает волновую функцию в момент времени 𝑡2 через волновую функцию 𝑓(𝑥), относящуюся к моменту времени 𝑡1. Ранее мы выражали это соотношением
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∫
-∞
𝐾(𝑥,𝑡
2
;𝑦,𝑡
1
)
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
.
(4.58)
Сравнивая его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра 𝐾(2,1):
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
=
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖