ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
,
если 𝑡
2
> 𝑡
1
,
0,
если 𝑡
2
< 𝑡
1
.
(4.59)
Задача 4.10. Проверьте, что ядро 𝐾 определённое соотношением (4.59), удовлетворяет уравнению Шрёдингера.
Представление ядра 𝐾 в виде (4.59) оказывается очень полезным при переходе к более привычным изложениям квантовой механики. Ядро, определённое ранее как интеграл по траекториям, выражено здесь лишь через решения дифференциального уравнения (4.42).
Задача 4.11. Покажите, что в трёхмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц
φ
𝑝
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩⋅𝐫
(4.60)
соответствуют энергии 𝐸𝑝=𝑝²/2𝑚. Докажите свойство ортогональности, рассматривая в качестве индекса 𝑛 вектор 𝐩, т.е. докажите, что для 𝐩≠𝐩'
𝐫
∫
φ
*
𝑝
φ
𝑝'
𝑑³𝐫=0
даже если 𝐸
𝑝
=𝐸
𝑝'
.
(4.61)
В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение
𝐾
0
(𝐫
2
,𝑡
2
;𝐫
1
,𝑡
1
)
=
∑
𝐩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐩⋅(𝐫
2
-𝐫
1
)
⎤
⎥
⎦
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖𝑝²(𝑡1-𝑡1)
2ℏ𝑚
⎤
⎥
⎦
.
(4.62)
Так как векторы 𝐩 составляют континуум, сумма по «индексам» 𝐩 фактически эквивалентна интегралу по всем значениям 𝐩, т.е.
∑
𝐩
( )
=
𝐩
∫
( )
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(4.63)
Ядро для случая свободной частицы запишется как
𝐾
0
(𝐫
2
,𝑡
2
;𝐫
1
,𝑡
1
)
=
𝐩
∫
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐩⋅(𝐫
2
-𝐫
1
)
⎤
⎥
⎦
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖𝑝²(𝑡1-𝑡1)
2ℏ𝑚
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(4.64)
Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т.е. представляет собой трёхмерное обобщение выражения (3.3)].
§ 3. Нормировка волновых функций свободной частицы
Вывод формулы для ядра в случае свободной частицы, приведённый в задаче 4.11, неудовлетворителен по двум причинам, которые связаны между собой. Во-первых, понятие суммы по различным состояниям 𝑛, использованной в выражении (4.62), не удовлетворительно, если состояния принадлежат непрерывному спектру, что имеет место в случае свободной частицы. Во-вторых, волновые функции для свободных частиц [плоские волны], хотя и являются ортогональными, однако не могут быть нормированы, так как
∞
∫
-∞
φ*φ
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
1
𝑑𝑥
=∞
и не выполнено условие равенства (4.47), которое применялось при выводе выражения (4.62). Оба эти пункта можно одновременно исправить чисто математическим путём. Возвратимся к разложению произвольной функции по собственным функциям φ𝑛:
𝑓(𝑥)
=
∑
𝑛
𝑎
𝑛
φ
𝑛