√
1/𝐿
𝑥
𝑒
𝑖𝑘𝑥𝑥
√
1/𝐿
𝑦
𝑒
𝑖𝑘𝑦𝑦
√
1/𝐿
𝑧
𝑒
𝑖𝑘𝑧𝑧
=
1
𝑉½
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
,
(4.72)
где 𝑉=𝐿𝑥𝐿𝑦𝐿𝑧 — объём ящика, и допустимыми значениями будут 𝑘𝑥=2π𝑛𝑥/𝐿𝑥, 𝑘𝑦=2π𝑛𝑦/𝐿𝑦 и 𝑘𝑧=2π𝑛𝑧/𝐿𝑧 (𝑛𝑥, 𝑛𝑦, 𝑛𝑧 — целые числа). Кроме того, число решений со значениями 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧, лежащими соответственно в интервалах 𝑑𝑘𝑥, 𝑑𝑘𝑦, 𝑑𝑘𝑧, равно произведению
𝑑𝑘𝑥
2π
𝐿
𝑥
𝑑𝑘𝑦
2π
𝐿
𝑦
𝑑𝑘𝑧
2π
𝐿
𝑧
=
𝑑³𝐤
(2π)³
𝑉.
(4.73)
Другими словами, мы использовали плоские волны, нормированные в объёме 𝑉. Число состояний в объёме 𝑑³𝐤 (дифференциальном объёме 𝐤-пространства) равно 𝑉𝑑³𝐤/(2π)³.
Применим это к задаче 4.11 и вспомним установленную в § 1 гл. 3 связь между импульсом и волновым числом 𝑝=ℏ𝑘. В выражении (4.64) мы должны сделать два изменения. Во-первых, поскольку волновыми функциями у нас были exp[(𝑖𝐩⋅𝐫)/ℏ], в то время как теперь мы должны использовать √1/𝑉exp[(𝑖𝐩⋅𝐫)/ℏ], нужно ввести добавочный множитель 1/𝑉. [Выражение (4.64) содержит произведение двух волновых функций.) Во-вторых, символ суммы
∑
𝐩
( )
надо заменить на интеграл 𝑉∫( )𝑑³𝐩/(2πℏ)³. Все это оправдывает то, что было проделано в § 2 гл. 4, а также результаты вывода в задаче 4.11.
Следует отметить, что множители 𝑉 сокращаются, как это и должно быть, так как при 𝑉→∞ ядро 𝐾 не должно зависеть от размера ящика.
Некоторые замечания о математической строгости. У читателя при виде того, как в конце вычислений объём 𝑉 сокращается, может возникнуть одна из двух реакций: либо удовлетворение от того, что он сокращается, как это и должно быть, поскольку стенки ни на что не влияют, либо недоумение, почему все делается так нестрого, «грязно» и запутанно, с помощью стенок, которые не имеют никакого реального смысла, и т. д., когда все это можно было бы выполнить намного изящнее и математически строже без всяких стенок и тому подобных вещей. Тип такой реакции зависит от того, мыслите ли вы физически или же математически. По поводу математической строгости в физике между математиками и физиками возникает много недоразумений, поэтому, быть может, уместно дать оценку каждому методу: рассуждениям с ящиком и математически строгому рассмотрению.
Здесь, конечно, содержится более тривиальный вопрос: какой метод для нас более привычен, т.е. требует минимума новых знаний? Прежде чем подсчитывать число различных состояний в ящике, большинство физиков думали прежде всего именно об этом.
Наряду с этим математически строгое решение может быть нестрогим с физической точки зрения; иначе говоря, возможно, что ящик существует на самом деле. Им может быть не обязательно прямоугольный ящик, ведь не часто оказывается, что эксперименты ставят под звёздами; чаще их проводят в комнате. Хотя физически представляется вполне разумным, что стенки не должны влиять на опыт, тем не менее такую постановку задачи надо рассматривать как идеализацию. Удаление стенок на бесконечность ничем не лучше, чем замена их достаточно далёкими идеальными зеркалами. В первом случае математическая строгость также нарушается, поскольку реальные стенки находятся не на бесконечности.
Подход с привлечением удалённых стенок справедлив и строг настолько же, насколько оправдан. Он обладает несколькими преимуществами. Например, когда объём в заключительных формулах сокращается, мы видим, что несуществен по крайней мере один из аспектов идеализации — насколько стенки удалены. Этот результат интуитивно ещё более убеждает нас в том, что истинное расположение реальной окружающей обстановки может быть несущественным. Наконец, полученная формула очень полезна, когда мы действительно имеем случай конечных размеров. Например, в гл. 8 мы воспользуемся ею, чтобы подсчитать число различных звуковых волн в большом блоке вещества прямоугольной формы.