Амплитуда вероятности того, что частица придёт в точку 𝑥 в момент времени 𝑡=𝑇, равна
ψ(𝑥,𝑡)
=
∞
∫
-∞
𝐾
0
(𝑥,𝑇;𝑦,0)
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
.
(5.1)
После подстановки ядра 𝐾0, описывающего движение свободной частицы, это выражение примет вид
ψ(𝑥,𝑡)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫½
⎪
⎭
exp
𝑖𝑚𝑥²
2ℏ𝑇
∞
∫
-∞
⎧
⎪
⎩
exp
-𝑖𝑚𝑥𝑦
ℏ𝑇
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
exp
𝑖𝑚𝑦²
2ℏ𝑇
⎫
⎪
⎭
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
.
(5.2)
Квадрат модуля амплитуды ψ(𝑥,𝑇) даёт вероятность нахождения частицы между точками 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥. В соответствии с нашим определением это совпадает (в пределе 𝑇→∞) с вероятностью того, что величина импульса частицы лежит между 𝑝 и 𝑝+𝑑𝑝:
𝑃(𝑥)𝑑𝑥
=
𝑚𝑑𝑥
2πℏ𝑇
⎪
⎪
⎪
∞
∫
-∞
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
(𝑦²-2𝑥𝑦)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
⎪²
⎪
⎪
=
𝑃(𝑝)𝑑𝑝
(5.3)
при 𝑇→∞. Подстановка 𝑝=𝑚𝑥𝑇 с учётом предельного перехода к большим 𝑇 приводит к выражению
𝑃(𝑝)𝑑𝑝
=
𝑑𝑝
2πℏ
⎪
⎪
⎪
∞
∫
-∞
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚𝑦²
2ℏ𝑇
-
𝑖𝑝𝑦
ℏ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
⎪²
⎪
⎪
.
(5.4)
Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области ±𝑏 - около начала координат. Это означает, что начальная волновая функция 𝑓(𝑦) спадает до нуля для значений 𝑦, больших по абсолютной величине, чем 𝑏. Далее, при возрастании 𝑇 величина 𝑖𝑚𝑏²/2ℏ𝑇 становится пренебрежимо малой. Так как значения 𝑦, большие по абсолютной величине, чем 𝑏, не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 будет приближённо равна произведению 𝑑𝑝/2πℏ на квадрат модуля амплитуды 1)
φ(𝑝)
=
+∞
∫
-∞
exp
⎧
⎪
⎩
-𝑖𝑝𝑦
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
.
(5.5)
1) Многие авторы предпочитают включать множитель 1/2πℏ в определение амплитуды ψ(𝑝), куда он входит как 1/√2πℏ Однако, следуя изложенному в § 3 гл. 4, мы предпочитаем писать амплитуду в той форме, которую уже применяли, и при этом помнить, что элемент объёма в импульсном пространстве у нас всегда включает в себя множитель 1/2πℏ для каждой степени свободы. Например, элемент объёма в трёхмерном импульсном пространстве равен 𝑑³𝐩/(2πℏ)³.
Несколько другая интерпретация этого результата даётся на фиг. 5.1 и 5.2.
Фиг. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно.
В точке 𝑥 в интервале времени 𝑇 она является произведением двух функций. Одна из них 𝑓(𝑦) — амплитуда вероятности того, что частица начинает движение из некоторой точки 𝑦 как это показано пунктирной линией. Вторая — ядро для свободной частицы 𝐾(𝑥,𝑇;𝑦,0) — является амплитудой перехода из точки 𝑦 в точку 𝑥; она представлена синусоидой с медленно изменяющейся длиной волны. Конечное положение 𝑥 мы рассматриваем здесь как начальную точку изменения этой функции, в то время как 𝑦 у нас — переменная величина. Если расстояние точки 𝑥 от начала координат значительно больше расстояния между точками -𝑏 и +𝑏, где функция 𝑓(𝑦) не равна нулю, то длина волны остаётся практически постоянной.
Приближённо её можно записать в виде exp[(-𝑖/ℏ)(𝑚𝑥/𝑇)𝑦] В окончательном выражении для амплитуды вероятности достижения частицей точки 𝑥 эти функции перемножаются и произведение их интегрируется по 𝑦. Так как все частицы проходят примерно одинаковое расстояние за одно и то же время 𝑇 (опять-таки в предположении 𝑥≫𝑏), это выражение совпадает с амплитудой вероятности того, что импульс частиц равен 𝑝=(𝑚𝑥/𝑇).