⎭
ψ(𝐑,𝑡)
𝑑³𝐑
.
(5.7)
Будем называть её амплитудой вероятности того, что частица имеет импульс 𝐩 в момент времени 𝑡. Часто оказывается более удобным рассматривать задачи не в координатном представлении, а в импульсном, или, как говорят, в пространстве импульсов, а не координат. Фактически переход от одного представления к другому есть не что иное, как преобразование Фурье. Таким образом, если мы имеем импульсное представление и хотим перейти снова к координатному, то пользуемся обратным преобразованием
ψ(𝐑,𝑡)
=
𝐩
∫
⎡
⎢
⎣
exp
𝑖
ℏ
(𝐩⋅𝐑)
⎤
⎥
⎦
φ(𝐩,𝑡)
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(5.8)
Эту формулу можно истолковать на языке тех же физических понятий, которые мы уже использовали для описания структуры других амплитуд. Амплитуда вероятности того, что частица находится в точке 𝐑, представляется в виде суммы по всем возможным альтернативам. В данном случае эти альтернативы соответствуют произведению двух членов. Один из них — амплитуда вероятности того, что импульс частицы равен 𝐩, т.е. амплитуда ψ(𝐩). Другой — экспонента exp(𝑖𝐩⋅𝐑/ℏ) представляет собой амплитуду вероятности того, что если импульс равен 𝐩, то частица находится в точке 𝐑. Этот второй множитель не является для нас новым, так как мы уже обсуждали подобное выражение в задаче 4 гл. 3.
Заметим, что в преобразовании (5.7) показатель у экспоненты отрицательный. Это обстоятельство можно истолковать таким же образом, как это делалось в § 3 гл. 4.
Следовательно, exp(-𝑖𝐩⋅𝐑/ℏ) представляет собой амплитуду вероятности того, что если частица находится в точке 𝐑, то её импульс равен 𝐩.
Ядро в импульсном представлении. Мы показали (см. § 4 гл. 3), как с помощью ядра, которое описывает движение частицы в промежуточные моменты времени, находится волновая функция для некоторого момента времени 𝑡2, если известна волновая функция для более раннего момента времени 𝑡1 а именно
ψ(𝐑
2
,𝑡
2
)
=
𝑡2
∫
𝑡1
𝐑1
∫
𝐾(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
ψ(𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑑³𝐑
1
𝑑𝑡
1
.
(5.9)
Существует также выражение для ядра в импульсном пространстве, которое можно было бы использовать в аналогичной формуле. Тогда амплитуда в пространстве импульсов для момента времени 𝑡2 окажется выраженной через амплитуду, относящуюся к более раннему моменту времени 𝑡1:
φ(𝐩
2
,𝑡
2
)
=
𝑡2
∫
𝑡1
𝐩1
∫
𝒦(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
φ(𝐩
1
,𝑡
1
)
𝑑³𝐩1
(2πℏ)³
𝑑𝑡
1
.
(5.10)
Подставив в соотношение (5.9) значение ψ(𝐑1,𝑡1) из формулы (5.8) и выполнив, как это указано в (5.57), преобразование Фурье от функции ψ(𝐑2,𝑡2) к φ(𝐩2,𝑡2), мы выразим ядро в импульсном представлении через его значение в координатном представлении
𝒦(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
=
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
𝐾(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑒
+(𝑖/ℏ)𝐩1⋅𝐑1
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
.
(5.11)
Например, ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном пространстве, имеет вид