𝒦
0
(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
=
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
𝐾
0
(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑒
(𝑖ℏ)𝐩1⋅𝐑1
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(2πℏ)³δ³
(𝐩
1
-𝐩
2
)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖|𝐩1|²
2ℏ𝑚
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
при
𝑡
2
>𝑡
1
,
0
при
𝑡
2
<𝑡
1
.
(5.12)
Последнее равенство следует из условия (4.28). То, что в это выражение входит дельта-функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю exp(-𝑖𝐸𝑡/ℏ), где 𝐸=𝑝²/2𝑚. Этот вывод, следующий из формулы (5.12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64).
Фиг. 5.3. Ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном и координатном пространствах.
В импульсном представлении существует единственная траектория, двигаясь по которой частица достигает значения импульса 𝑝2 в момент времени 𝑡2. Эта траектория должна начинаться со значения импульса 𝑡1=𝑡2 Все другие траектории не дают вклада в ядро.
Ядро (5.12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида. Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым.
Преобразование энергия — время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временные координаты симметричным образом. В этом случае к преобразованию перехода от координатного к импульсному представлению присоединяется также преобразование время → энергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид
𝑘(𝐩
2
,𝐸
2
;𝐩
1
,𝐸
1
)
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
∞
∫
-∞
∞
∫
𝑡1
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐸2𝑡2
𝐾(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
×
×
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩1⋅𝐑1
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡1
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
2
.
(5.13)
Заметим, что энергия 𝐸 здесь не равна 𝑝²/2𝑚, а является дополнительным аргументом (коэффициентом, на который умножается время), необходимым для определения ядра. Точное измерение величины 𝐸 для установления связи между энергией и импульсом можно сделать лишь в том случае, когда система бесконечно долго находится в состоянии с одной и той же энергией.
В качестве примера вычислим ядро для случая свободной частицы. Необходимые интегралы по переменным 𝐑1 и 𝐑2 были уже найдены и определяются формулой (5.12). Нам остаётся выполнить интегрирование лишь по 𝑡1 и 𝑡2. Сделаем подстановку 𝑡2=𝑡1+τ. Тогда двойной интеграл можно записать как