∞
∫
-∞
𝑒
-(𝑖/ℏ)(𝐸2-𝐸1)𝑡1
𝑑𝑡
1
∞
∫
0
𝑒
-(𝑖/ℏ)(𝐸2-𝑝²/2𝑚)τ
𝑑τ
.
(5.14)
Первый из этих двух интегралов является интегральным представлением δ-функции Дирака и равен 2πℏδ(𝐸2-𝐸1). Второй интеграл имеет вид
∞
∫
0
𝑒
𝑖ωτ
𝑑𝑡
.
(5.15)
Такие интегралы часто встречаются в квантовомеханических задачах; при действительном ω они расходятся. Поэтому для того, чтобы мы могли выполнить наш расчёт, заменим ω комплексным числом ω+𝑖ε. Когда обе величины ω и ε — действительные числа, интеграл равен 𝑖/(ω+𝑖ε).
Теперь можно было бы просто перейти к пределу этого выражения при ε, стремящемся к нулю, и принять за результат 𝑖/ω. Однако такой подход привёл бы нас к неправильным (или, точнее, к неполным) результатам в дальнейшем. Функция, которую мы вычисляем,— это ядро, и в дальнейшем её следует- проинтегрировать (после умножения на некоторую другую функцию) по всем значениям ω или по всем значениям другой некоторой эквивалентной величины. Если в нашем выражении опустить ε, то рассматриваемый интеграл имел бы полюс при значении ω=0.
Было бы неправильным брать в этом случае просто главную часть интеграла в точке такого полюса. Это дало бы нам неверный результат. В частности, обратное преобразование полученного ядра не привело бы снова к тому первоначальному координатному представлению ядра, из которого мы исходили. Результат преобразования отличался бы от исходного выражения тем, что не обращался бы в нуль при отрицательных значениях времени. Правильный результат для таких интегралов можно получить, если сдвинуть полюс на бесконечно малое расстояние выше действительной оси. Это и достигается введением в наше выражение величины ε.
Преобразовав выражение 𝑖/(ω+𝑖ε) к виду
𝑖(ω-𝑖ε)
ω²+ε²
=
𝑖ω
ω²+ε²
+
ε
ω²+ε²
,
(5.16)
можно первый член в правой части представить как 𝑖/ω и в дальнейшем интеграл от него вычислять в смысле главного значения. Второй член при ε, стремящемся к нулю, становится равным πδ(ω), так что в дальнейшем при интегрировании его следует учитывать именно в таком виде. Это означает, что если мы хотим более точно математически определить значение указанного интеграла, то выражение 𝑖/(ω+𝑖ε) должно быть заменено на 𝙿𝙿[(𝑖/ω)+πδ(ω)]. Другими словами,
∞
∫
0
𝑒
𝑖ωτ
𝑑𝑡
=
lim
ε→0
𝑖
ω+𝑖ε
=
𝙿𝙿
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
𝑖
ω
⎫
⎪
⎭
+πδ(ω)
⎤
⎥
⎦
.
(5.17)
В последующем во всех выражениях, содержащих ε, будет подразумеваться предельный переход при ε→0.
Возвращаясь к вычислению ядра, заменим ω на 𝐸2-(𝑝²/2𝑚), после чего получим
𝐸
0
(𝐩
2
,𝐸
2
;𝐩
1
,𝐸
1
)
=
(2πℏ)
4
δ³
(𝐩
2
-𝐩
1
)
δ(𝐸
2
-𝐸
1
)
×
×
⎧
⎪
⎩
𝐸
1
-
𝑝²1
2𝑚
+𝑖ε
⎫-1
⎪
⎭
.
(5.18)
Наличие δ-функций в этом выражении означает, что ни энергия, ни импульс 𝑝 не изменяются во время движения свободной частицы. Эти две величины, как это видно из последнего множителя, и определяют движение частицы.
Таким образом, амплитуда движения свободной частицы с энергией 𝐸 и импульсом 𝑝 из одной точки в другую пропорциональна 𝑖[𝐸-(𝑝²/2𝑚)+𝑖ε]-1.
В этой главе мы уже отмечали, что энергия 𝐸 здесь, вообще говоря, не равна 𝑝²/2𝑚, а является независимой переменной.