Чтобы понять, чем это обусловлено, рассмотрим ядро для свободной частицы, которое можно представить некоторой осциллирующей функцией в пространстве и времени, где величина 𝐸 является коэффициентом при переменной времени и, следовательно, обладает свойствами частоты. Ядро, заданное равенством (5.12), представлено на фиг. 5.4 как функция разности времён 𝑇=𝑡2-𝑡1. Оно обращается в нуль при отрицательном 𝑇 и начинает осциллировать при значении 𝑇=0. Преобразование от временного к энергетическому представлению эквивалентно преобразованию Фурье. Так как волна образуется сразу при 𝑇=0, то фурье-компонента определена при всех значениях частот и, следовательно, для всех энергий. Однако если функция рассматривается на большом временном интервале (много периодов), то в фурье-компоненте начинает преобладать лишь одна из частот. Для свободной частицы такая доминирующая частота соответствует энергии 𝐸0=𝑝²/2𝑚.
Фиг. 5.4. Действительная часть ядра 𝐾0 (описывающего движение свободной частицы) как функция времени.
Для отрицательных моментов времени эта функция обращается в нуль, в точке 𝑡=0 она скачкообразно возрастает, а далее имеет вид косинусоидальной волны с постоянной амплитудой и частотой.
Именно поэтому ядро в случае свободной частицы содержит множитель
𝑖
=𝙿𝙿
⎧
⎪
⎩
𝑖
⎫
⎪
⎭
+πδ
⎧
⎪
⎩
𝐸
2
1
-
𝑝²
2𝑚
⎫
⎪
⎭
.
𝐸
0
-𝑝
2
2𝑚+𝑖ε
𝐸
2
-𝑝²/2𝑚
1
1
(5.19)
Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным возникновением колебаний при 𝑡=0. Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное 𝑝²/2𝑚 однако вблизи точки 𝑡=0 энергия не определяется этой классической формулой.
Задача 5.2. Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае
𝑘(𝑥
2
,𝐸
2
;𝑥
1
,𝐸
1
)
=
∫∫
𝑒
(𝑖ℏ)𝐸2𝑡2
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡1
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
1
.
(5.20)
Покажите, что для системы с не зависящим от времени гамильтонианом 𝐻
𝑘(𝑥
2
,𝐸
2
;𝑥
1
,𝐸
1
)
=
2πℏ𝑖δ
(𝐸
2
-𝐸
1
)
∑
𝑚
φ𝑚(𝑥2)φ*𝑚(𝑥1)
𝐸1-𝐸𝑚+𝑖ε
,
(5.21)
где φ𝑚 — собственные функции, а 𝐸𝑚 — собственные значения оператора 𝐻.
§ 2. Измерение квантовомеханических величин
Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен 𝐩. Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных. Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, как и в пространственно-временном представлении, которым до сих пор пользовались.
Эти результаты относятся не только к импульсным, но и к другим переменным. Если какая-либо физическая величина измерима экспериментально, то ей может быть сопоставлена некоторая функция вероятности. Это означает, что если существует возможность измерять какую-нибудь характеристику нашей системы 𝐴 (например, 𝑥-компонету импульса), то после многократного повторения эксперимента можно построить распределение вероятности 𝑃(𝑎); оно даст нам вероятность того, что в каком-нибудь конкретном эксперименте численное значение 𝐴 будет найдено равным 𝑎.