∫
𝐾
exp
(ζ,𝑥)
𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
=
δ(ζ-ζ')
.
(5.28)
Это уравнение можно решить, используя соотношение между комплексно-сопряжённым и обратным ядром, полученное в § 1 гл. 4. Из формулы (4.37) мы имеем
∫
𝐾
exp
(ζ',𝑥)
𝐾
*
exp
(ζ,𝑥)
𝑑𝑥
=
δ(ζ-ζ')
,
(5.29)
так что
𝐹(𝑥)
=
𝐾
*
exp
(ζ,𝑥)
=
𝑔(𝑥)
.
(5.30)
Это означает, что функция 𝑔(𝑥) — волновая функция частицы, которая заведомо обладает свойством 𝐺. Итак, мы можем сказать, что частица обладает свойством 𝐺, т.е. находится в состоянии 𝑔(𝑥). Таким образом мы установили: если частица находится в состоянии 𝑓(𝑥), то амплитуда вероятности найти её в состоянии 𝑔(𝑥) есть
ψ(𝑥)
=
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
Φ[𝑔(𝑥)]
.
(5.31)
Для большего числа степеней свободы 𝑥 берётся в пространстве нескольких измерений.
Можно дать и не столь строгую формулировку вышесказанного: вероятность того, что частица находится в состоянии 𝑔(𝑥), равна |∫𝑔*(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥|². Эта формулировка хороша, когда мы знаем, что имеем при этом в виду. На самом деле система находится в состоянии 𝑓(𝑥), а не в состоянии 𝑔(𝑥), но если при измерении мы хотим узнать, будет ли она также находиться в состоянии 𝑔(𝑥), то вероятность получить утвердительный ответ равна:
𝑃(𝑥)
=
⎪
⎪
⎪
∞
∫
-∞
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
=
𝓟[𝑔(𝑥)]
.
(5.32)
Измерение, с помощью которого выясняется, находится ли система в состоянии 𝑔(𝑥) или нет, покажет, что система действительно находится в этом состоянии, если волновая функция системы равна 𝑔(𝑥). Для других волновых функций повторение эксперимента даст утвердительный ответ лишь в некоторой части случаев, составляющей от всех испытаний долю 𝑃. Это является центральным пунктом вероятностной интерпретации квантовой механики.
Из всего этого следует одно интересное соотношение между самой волновой функцией и функцией, комплексно ей сопряжённой. В соответствии с нашим пониманием соотношения (5.25) функция 𝑔*(𝑥) представляет собой амплитуду вероятности того, что если система занимает положение 𝑥, то она обладает свойством 𝐺 (это утверждение можно записать математически, если вместо функции 𝑓(𝑥) в формулу (5.31) подставить δ-функцию); с другой стороны, 𝑔(𝑥) — амплитуда вероятности того, что система, обладающая свойством 𝐺, находится в точке 𝑥. (Это как раз и является способом определения волновой функции.) Одна из этих функций даёт амплитуду вероятности в таком случае: если имеется 𝐴, то имеется и 𝐵; другая определяет её для обратного случая: если имеется 𝐵, то имеется 𝐴. Переход осуществляется здесь простым комплексным сопряжением.
Соотношение (5.31) может быть интерпретировано следующим образом: амплитуда вероятности того, что система обладает свойством 𝐺, представляет собой сумму по всем значениям 𝑥 произведений амплитуды 𝑔(𝑥), описывающей вероятность того, что система находится в положении 𝑥, и амплитуды 𝑓*(𝑥), определяющей вероятность того, что если система занимает положение 𝑥, то она обладает свойством 𝐺.
Задача 5.3. Пусть интеграл
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
,
который даёт полную вероятность найти в каком-либо месте частицу с волновой функцией 𝑓(𝑥), нормирован так, что его значение равно единице. Покажите, что при этом условии состояние 𝑓(𝑥), в котором частица с наибольшей вероятностью будет обладать свойством 𝐺, совпадает с 𝑔(𝑥).