Квантовая механика и интегралы по траекториям

§ 3. Операторы

Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией 𝑓(𝑥), и мы измеряем величину 𝐴; какое среднее значение получится для величины 𝐴 при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом ⟨𝐴⟩.

Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, причём измерение величины 𝐴 даёт какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел 𝑎, измерение величины 𝐴 — некоторое значение 𝑎, …. Вероятность получить определённый набор 𝑎, 𝑏, 𝑐, … равна |𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…}|², а вероятность получить для величины 𝐴 некоторое значение 𝑎 при любых 𝐵, 𝐶, … (например, вообще не измеряя последние) равна

𝑃(𝑎)

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

…

|𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

|²

.

(5.39)

Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин 𝑏, 𝑐, … .

Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины 𝐴 получается умножением вероятности (5.39) на величину 𝑎 и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого 𝑎. Таким образом,

⟨𝐴⟩

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

 

∑

^𝑐

…𝑎

|𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

|²

.

(5.40)

Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвящённых этому вопросу (см., например, [24]).

Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое значение величины 𝐴 непосредственно с помощью исходной волновой функции 𝑓(𝑥). Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции 𝐹_{𝑎,𝑏,𝑐,…} можно записать как

|𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

|²

=

𝐹

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

𝐹

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

.

(5.41)

Используя формулу (5.36), получаем

⟨𝐴⟩

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏

 

∑

^𝑐

…𝑎

_∞

∫

^-∞

χ

_{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥)

𝑓*(𝑥)

𝑑𝑥

×

×

_∞

∫

^-∞

χ

_*

^{𝑎,𝑏,𝑐,…}

(𝑥')

𝑓(𝑥')

𝑑𝑥'

=

_∞

∫

^-∞

𝑓*(𝑥)

𝑅(𝑥)

𝑑𝑥

.

(5.42)

Во второй строке этого равенства мы обозначили

𝑅(𝑥)

=

_∞

∫

^-∞

𝐺

_𝐴

(𝑥,𝑥')

𝑓(𝑥')

𝑑𝑥'

,

(5.43)

где

𝐺

_𝐴

(𝑥,𝑥')

=

 

∑

^𝑎

 

∑

^𝑏