𝒜ℬ
=
ℬ𝒜
Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины 𝐴 и 𝐵 являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, соответствующих одной и той же характеристической функции 𝑎,𝑏,𝑐,…. Если в уравнении (5.53) оператор ℬ поместить перед оператором 𝒜, а величину 𝑏 поставить перед 𝑎, то равенство не нарушится, так что
𝒜(ℬχ)
=
𝒜(𝑏χ)
=
𝑏(𝒜χ)
=
𝑏𝑎χ
=
𝑎𝑏χ
.
(5.54)
Это справедливо, поскольку 𝑎 и 𝑏 — обычные числа, а не операторы. Точно так же
ℬ(𝒜χ)
=
ℬ(𝑎χ)
=
𝑎(ℬχ)
=
𝑎𝑏χ
.
(5.55)
Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов ℬ и 𝒜, когда они действуют на какую-либо из функций χ𝑎,𝑏,𝑐,…. Так как оба эти оператора линейны (т.е. не содержат операций, требующих учёта высших степеней функции χ), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций χ.
Если χ-функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы 𝐴 и 𝐵 коммутируют.
Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату 𝑥 и 𝑥-компоненту импульса 𝑝𝑥 нельзя измерить одновременно.
Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов 𝒜, ℬ, 𝒞, … уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т.е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений
𝒜χ=𝑎χ
,
ℬχ=𝑏χ
,
𝒞χ=𝑐χ
,
….
(5.56)
Предположим, например, что операторы 𝑥-й, 𝑦-й и 𝑧-й компонент импульса 𝑝𝑥, 𝑝𝑦 и 𝑝𝑧 определены соответственно как [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥)], [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑦)], [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑧)]. Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором 𝑝𝑥 имеет значение 𝑎, 𝑝𝑦 — значение 𝑏, а 𝑝𝑧 — значение 𝑐?
(Числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, … являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения
-
ℏ
𝑖
∂χ
∂𝑥
=𝑎χ,
-
ℏ
𝑖
∂χ
∂𝑦
=𝑏χ,
-
ℏ
𝑖
∂χ
∂𝑧
=𝑐χ.
(5.57)
С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид exp[(ℏ/𝑖)(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)] Это согласуётся с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс 𝐩, описывается волновой функцией exp(ℏ/𝑖)(𝐩⋅𝐫).
Разложение по собственным функциям оператора энергии. Различные выражения, содержащие собственные функции φ𝑛, могут быть теперь истолкованы гораздо полнее. Рассмотрим, например, разложение (4.59) ядра 𝐾 в ряд по функциям φ𝑛, являющимися решениями уравнения Шрёдингера с постоянным гамильтонианом:
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
=
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
.
(5.58)
Прежде всего заметим, что функция φ𝑛(𝑥) является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении 𝑥, если известно, что она находится в состоянии 𝑛. Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в § 2 гл. 5 сопряжённая ей функция φ*𝑛(𝑥) является амплитудой вероятности найти систему в состоянии 𝑛, если она занимает положение 𝑥. На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени 𝑡1 в положение 2 в момент времени 𝑡2 выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход. Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1) φ*𝑛(𝑥1) — амплитуды вероятности найти систему в точке 𝑥1 если известно, что она находится в состоянии 𝑛; 2) exp[-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛(𝑡2-𝑡1)] — амплитуды вероятности найти систему в состоянии 𝑛 в момент времени 𝑡2, если в момент времени 𝑡1 она была в состоянии 𝑛1); 3) φ𝑛(𝑥2) — амплитуды вероятности найти систему в точке 𝑥2, если мы знаем, что она находится в состоянии 𝑛.