Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной ℏ интеграл по времени от потенциала вдоль траектории. Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от 𝑉(𝑥,𝑡), может быть разложена в ряд
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉(𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
=
1-
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉(𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
+
+
1
2!
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫²
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉(𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
⎤²
⎥
⎦
+…,
(6.3)
который определён для некоторой частной траектории 𝑥(𝑡). Подставляя это разложение в (6.1), получаем
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
+
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
+
𝐾
(2)
(𝑏,𝑎)
+…,
(6.4)
где
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
=
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚𝑥̇²
2
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑡)
,
(6.5)
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=-
𝑖
ℏ
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚𝑥̇²
2
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑑𝑆
𝒟𝑥(𝑡)
,
(6.6)
𝐾
(2)
(𝑏,𝑎)
=-
1
2ℏ²
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚𝑥̇²
2
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠)]
𝑑𝑠
×
×
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']
𝑑𝑠'
𝒟𝑥(𝑡)
(6.7)
и т.д.
Чтобы не перепутать временны'е переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через 𝑠, 𝑠' и т.п.
Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро 𝐾(1). Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной 𝑥 и по траектории 𝑥(𝑡). Запишем
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=-
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝐹(𝑠)
𝑑𝑠
,
(6.8)
где
𝐹(𝑠)
=
𝑏
∫
𝑎
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑚𝑥̇²
2
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝒟𝑥(𝑡)
.
(6.9)
Интеграл по траектории 𝐹(𝑠) имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала 𝑉[𝑥(𝑠),𝑠], вычисленного в момент времени 𝑠. Единственная характеристика траектории 𝑥(𝑡), от которой зависит потенциал 𝑉, — это положение траектории в некоторый момент времени 𝑡=𝑠. Другими словами, до и после этого момента 𝑠 содержащаяся в функционале 𝐹(𝑠) траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.