Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив 1). Рассмотрим, например, ядро 𝐾(1)(𝑏,𝑎), описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки 𝑎, движется свободно до точки 𝑥𝑐(𝑡𝑐=𝑐), где она рассеивается на потенциале 𝑉(𝑐), после чего снова движется как свободная частица из точки 𝑐 до конечной точки 𝑏. Амплитуда, соответствующая такой траетории, равна
𝐾
(0)
(𝑏,𝑐)
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
𝑉(𝑐)
𝑑𝑥
𝑐
𝑑𝑡
𝑐
⎤
⎥
⎦
𝐾
(0)
(𝑐,𝑎)
.
(6.12)
1) Поскольку даже однократное рассеяние может происходить в различных точках 𝐶, суммирование по всем альтернативам является совершенно необходимым.— Прим. перев.
(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договорённости, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т.е. справа налево.)
Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра 𝐾(1) получается сложением всех таких альтернатив, т.е. интегрированием по переменным 𝑥𝑐 и 𝑡𝑐.
С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро 𝐾(2) для двухкратного рассеяния в виде
𝐾
(2)
(𝑏,𝑎)
=
⎧
⎪
⎩
-
𝑖
ℏ
⎫²
⎪
⎭
∫∫
𝐾
(0)
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
(0)
(𝑐,𝑑)
×
×
𝑉(𝑑)
𝐾
(0)
(𝑑,𝑎)
𝑑τ
𝑐
𝑑τ
𝑑
,
(6.13)
где 𝑑τ=𝑑𝑥𝑑𝑡. Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки 𝑎 до точки 𝑑 и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен 𝑉(𝑑). Затем частица снова движется свободно от точки 𝑑 до точки 𝑐, где она рассеивается на потенциале 𝑉(𝑐). После чего частица движется от точки 𝑐 к точке 𝑏 опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т.е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.
Здесь мы молчаливо предполагали, что 𝑡𝑐>𝑡𝑑. Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом, примере, будем пользоваться условием, введённым ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что
𝐾(𝑏,𝑎)
=0 для 𝑡
𝑏
<𝑡
𝑎
.
(6.14)
Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным 𝑡𝑐 и 𝑡𝑑.
Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом ½, который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной 𝑡𝑑 по-прежнему заключена в пределах от 𝑡𝑎 до 𝑡𝑏. Однако область интегрирования по переменной 𝑡𝑐 ограничена тем, что точка 𝑡𝑐 обязана теперь находиться между точками 𝑡𝑑 и 𝑡𝑏 вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно на половину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']
𝑑𝑠'
𝑑𝑠
=
=
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑡𝑏
∫
𝑠
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']
𝑑𝑠'
𝑑𝑠
+
+
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑠
∫
𝑡𝑎
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']
𝑑𝑠'
𝑑𝑠
.
(6.15)