Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝑡𝑏
∫
𝑠'
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']
𝑑𝑠'
𝑑𝑠
(6.16)
Если в этом выражении поменять местами переменные 𝑠 и 𝑠', то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра 𝐾(𝑛) получается коэффициент 1/𝑛!
Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма 𝑈+𝑉, где 𝑉 мало по сравнению с 𝑈. Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал 𝑈 может быть квадратичным по переменной 𝑥; и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала 𝑈+𝑉 описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро 𝐾0 заменить ядром 𝐾𝑈, соответствующим движению только лишь под действием потенциала 𝑈. Таким образом, 𝑉 можно рассматривать как возмущение потенциала 𝑈. Можно сказать, что -(𝑖/ℏ)𝑉 представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчёте на единицу объёма и на единицу времени). Ядро 𝐾𝑈 — амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущённого потенциала 𝑈.
Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом 𝑉(𝑥,𝑦), где 𝑥 — координата первой, а 𝑦 — координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.
Если потенциал равен нулю, то 𝐾𝑉 — просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины 𝐾𝑉(𝑥𝑏, 𝑦𝑏, 𝑡𝑏; 𝑥𝑎, 𝑦𝑎, 𝑡𝑎). Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?
§ 2. Интегральное уравнение для ядра 𝐾𝑉
Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к изучению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
𝑑τ
𝑐
+
+
⎧
⎪
⎩
-
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
∫∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑑)
𝑉(𝑑)
𝐾
0
(𝑑,𝑎)
𝑑τ
𝑐
𝑑τ
𝑎
+… .
(6.17)
Это выражение можно представить и в другом виде:
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
[
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
-
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑐,𝑑)
𝑉(𝑑)
𝐾
0
(𝑑,𝑎)
𝑑τ
𝑑
+…]
𝑑τ
𝑐
.
(6.18)
Выражение в скобках имеет такой же вид, как и правая часть соотношения (6.17); суммирование в обоих случаях производится по бесконечному числу членов. Это означает, что ядро 𝐾𝑉 можно записать как
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
𝑑τ
𝑐
.
(6.19)
что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро 𝐾𝑉, в случае, когда известно ядро 𝐾0 (заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6.1, ядро 𝐾0 нужно заменить на 𝐾𝑈). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения.