Физически этот результат можно интерпретировать следующим образом. Полная амплитуда перехода системы из точки 𝑎 в точку 𝑏 посредством любого числа актов рассеяния может быть представлена как сумма двух амплитуд. Первая из них — амплитуда вероятности того, что движение частцы происходит без рассеяния (ядро 𝐾0). Вторая — амплитуда перехода, происходящего с одним или большим числом рассеяний. Эта амплитуда выражается последним членом соотношения (6.19). Точка 𝑐 здесь может мыслиться как точка, в которой происходит последнее рассеяние. Таким образом, система движется от точки 𝑎 до точки 𝑐 в потенциальном поле, и это её движение точно описывается ядром 𝐾𝑉(𝑐,𝑎). Затем в точке 𝑐 происходит последнее рассеяние, после чего система совершает переход как свободная (без рассеяний) в точку 𝑏. Эта часть движения описывается ядром 𝐾0. Все сказанное выше иллюстрируется фиг. 6.3.
Фиг. 6.3. Общий случай.
В случае 1 частица, на которую действует потенциал 𝑉, движется от точки 𝑎 до точки 𝑏 как свободная; это описывается амплитудой 𝐾0(𝑏,𝑎) В случае 2 частица рассеивается на потенциале 𝑉 один или большее число раз, причём последнее рассеяние происходит в точке 𝑐. Движение из точки 𝑎 в точку 𝑐 описывается ядром 𝐾𝑉(𝑐,𝑎) а из точки 𝑐 в точку 𝑏 — ядром 𝐾0(𝑏,𝑐). Комбинация этих двух случаев, в которой учтены все положения точки 𝑐, охватывает все возможности и даёт для 𝐾𝑉(𝑏,𝑎) уравнение (6.19).
Последнее рассеяние может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками 𝑎 и 𝑏, поэтому амплитуда для сложного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки 𝑐.
Задача 6.3. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему:
-
ℏ
𝑖
∂
∂𝑡𝑏
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
+
ℏ²
2𝑚
∂²
∂𝑥²𝑏
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
=
𝑖ℏ
δ(𝑡
𝑏
-𝑡
𝑎
)
δ(𝑥
𝑏
-𝑥
𝑎
)
.
(6.20)
Используя это уравнение и уравнение (6.19), покажите, что ядро 𝐾𝑉 удовлетворяет дифференциальному уравнению
-
ℏ
𝑖
∂
∂𝑡𝑏
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
+
ℏ²
2𝑚
∂²
∂𝑥²𝑏
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
+
𝑉(𝑏)
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
=
=
𝑖ℏ
δ(𝑥
𝑏
-𝑥
𝑎
)
δ(𝑡
𝑏
-𝑡
𝑎
)
.
(6.21)
§ 3. Разложение волновой функции
В § 4 гл. 3 мы ввели понятие волновой функции и рассмотрели некоторые соотношения, связывающие волновые функции и ядра. Соотношение (3.42) показывает, каким образом с помощью ядра, описывающего движение системы в промежутке между двумя моментами времени 𝑡𝑎 и 𝑡𝑏, можно получить волновую функцию для момента 𝑡𝑏, если известна волновая функция для более раннего момента времени 𝑡𝑎.
Здесь это уравнение нам будет удобно записать в виде
ψ(𝑏)
=
∫
𝐾
𝑉
(𝑏,𝑎)
𝑓(𝑎)
𝑑𝑥
𝑎
,
(6.22)
где 𝑓(𝑎) — значение волновой функции в момент времени 𝑡=𝑡𝑎 [т.е. 𝑓(𝑎) — функция точки 𝑥𝑎], ψ(𝑏) — волновая функция для более позднего момента времени 𝑡=𝑡𝑏 1). Мы предполагаем также, что в промежутке между этими двумя моментами времени система движется в потенциальном поле 𝑉, где её движение описывается ядром 𝐾𝑉(𝑏,𝑎).
1) Заметим, что наше условие 𝐾0(𝑏,𝑎) для 𝑡𝑏<𝑡𝑎 приводит к тому, что соотношение (6.22) становится непригодным, если 𝑡𝑏<𝑡𝑎, однако в области таких значений 𝑡 мы не будем пользоваться этим соотношением.