Если разложенное в ряд ядро 𝐾𝑉 [см. формулу (6.18)] подставить в соотношение (6.22), то мы получим разложение в ряд функции φ(𝑏). Таким образом,
ψ(𝑏)
=
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
𝑓(𝑎)
𝑑𝑥
𝑎
-
-
𝑖
ℏ
∫∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
𝑑τ
𝑐
𝑓(𝑎)
𝑑𝑥
𝑎
+… .
(6.23)
Первый член этого разложения даёт волновую функцию для момента времени 𝑡𝑏 в предположении, что между 𝑡𝑎 и 𝑡𝑏 система остаётся свободной (или невозмущённой, в последнем случае ядро 𝐾0 нужно заменить ядром 𝐾𝑈). Обозначим этот член через φ
φ(𝑏)
=
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑎)
𝑓(𝑎)
𝑑𝑥
𝑎
.
(6.24)
Используя это определение, ряд (6.23) можно переписать теперь как
ψ(𝑏)
=
φ(𝑏)
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
φ(𝑐)
𝑑τ
𝑐
+
+
∫∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑑)
𝑉(𝑑)
φ(𝑑)
𝑑τ
𝑐
𝑑τ
𝑑
+… .
(6.25)
Записанный в таком виде ряд теории возмущений называется борновским разложением функции ψ. Если ограничиться только первыми двумя членами (т.е. учесть лишь первый порядок разложения по 𝑉), то получим первое борновское приближение. Оно соответствует единичному рассеянию на потенциале 𝑉. Это рассеяние происходит в точке 𝑐. До этой точки движение системы является свободным и описывается функцией φ(𝑐), после рассеяния система снова движется как свободная от точки 𝑐 до точки 𝑏 и описывается ядром 𝐾0(𝑏,𝑐). Интеграл должен быть взят по всем возможным точкам, в которых происходит рассеяние. Когда используются три члена ряда (т.е. учитывается второй порядок по 𝑉), результат называется вторым борновским приближением и т.д.
Задача 6.4. Используя соображения, подобные тем, что привели нас к уравнению (6.19), покажите, что волновая функция ψ(𝑏) удовлетворяет интегральному уравнению
ψ(𝑏)
=
φ(𝑏)
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
ψ(𝑐)
𝑑τ
𝑐
.
(6.26)
Это интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шрёдингера
-
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑥
+
ℏ²
2𝑚
∇²ψ
+
𝑉ψ
=0.
(6.27)
Ограничившись одномерным случаем, покажите, как получить уравнение Шрёдингера из интегрального уравнения (6.27).
§ 4. Рассеяние электрона на атоме
Математическое рассмотрение. Идею метода и формулы теории возмущений мы рассмотрели пока несколько формально. Чтобы выяснить физический смысл этой теории, рассмотрим теперь конкретную задачу о рассеянии быстрого электрона на атоме.
Рассмотрим эксперимент, в котором пучок электронов бомбардирует мишень из тонкой металлической фольги, а затем попадает на соответствующий счётчик, как это показано на фиг. 6.4.
Фиг. 6.4. Эксперимент с рассеянием электронов.
Электроны, испаряющиеся с электрода в точке 𝑎 собираются в пучок с помощью коллимирующих отверстий в экранах 𝑆 и 𝑆' и бомбардируют далее мишень из тонкой фольги в точке 𝑂. Бо'льшая часть электронов проходит по прямой без рассеяния (если, конечно, их энергия достаточно велика, а мишень достаточно тонкая), но некоторые электроны отклоняются при взаимодействии с атомами мишени и рассеиваются, например, под углом θ в точку 𝑏. Если счётчик в точке 𝑎 перемещать вверх и вниз, можно установить зависимость между относительным числом рассеяний и углом рассеяния θ.
Предположим, что энергия рассеивающихся частиц определяется методом измерения времени пролёта. Это означает, что мы фиксируем электрон, вылетающий из источника в некоторый момент времени, скажем 𝑡=0, и определяем, какова вероятность того, что он попадает в счётчик через некоторый промежуток времени, равный времени задержки 𝑇. Тогда можно непосредственно использовать наше выражение 𝐾(𝑏,𝑎), полученное для амплитуды перехода из одного положения в другое за некоторый определённый промежуток времени.