Можно упростить задачу, предположив, что взаимодействие является настолько слабым или фольга настолько тонкой, что каждый электрон будет взаимодействовать, как правило, лишь с одним атомом. Фактически для большинства экспериментов с рассеянием это предположение является весьма реальным. Более того, в целом ряде случаев многократное рассеяние также можно анализировать на основе простого однократного рассеяния на одном атоме. Поэтому мы ограничимся рассмотрением взаимодействий между отдельными электронами и каким-то одним атомом.
Фиг. 6.5. Геометрия задачи с рассеянием.
Электрон выходит из точки 𝑎 и движется как свободная частица до точки 𝑐, где он рассеивается атомным потенциалом 𝑉(𝑟). После рассеяния он попадает в счётчик, расположенный в точке 𝑏 на конце радиуса-вектора 𝐑𝑏, проведённого от рассеивающего центра 𝑂. В этом случае электрон будет рассеян на угол θ, отсчитываемый от начального направления пучка. Этот процесс соответствует первому борновскому приближению. Если учесть амплитуды двух актов рассеяния, то получим второе борновское приближение, и т.д.
Выберем начало координат в центре атома. Пусть в этой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки 𝑎 в момент времени 𝑡=0. С помощью счётчика, помещённого в точку 𝑏, мы узнаем, достигнет ли электрон точки 𝑏 в момент времени 𝑡=𝑇. Будем приближённо считать, что
1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т.е. электрон рассеивается на атоме только один раз;
2) атом может быть представлен с помощью потенциала 𝑉(𝐫), фиксированного в пространстве и постоянного во времени.
На самом деле атом является очень сложной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом 𝑉(𝐫). Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при этом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остаётся в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.
Пусть 𝐑𝑎 и 𝐑𝑏 — векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчётах мы примем, что длина векторов 𝐑𝑎 и 𝐑𝑏 много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал 𝑉(𝐫) становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем |𝐑𝑎| и |𝐑𝑏|. Следовательно, большую часть времени пролёта электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.
Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром 𝐾0(𝑏,𝑎) для случая свободной частицы, был уже достаточно подробно нами изучен. Мы интересуемся вторым членом
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=
-
𝑖
ℏ
∫
𝐾
0
(𝑏,𝑐)
𝑉(𝑐)
𝐾
0
(𝑐,𝑎)
𝑑τ
𝑐
=
=
-
𝑖
ℏ
𝑟
∫
𝑇
∫
0
⎡
⎢
⎣
𝑚
2π𝑖ℏ(𝑇-𝑡)
⎤3/2
⎥
⎦
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚|𝐑𝑎-𝐫|²
2ℏ(𝑇-𝑡)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑉(𝐫)
×
×
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑡
⎫3/2
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚|𝐑𝑏-𝐫|²
2ℏ𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐫
𝑑𝑡
.
(6.28)