Через 𝐫 мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой 𝑐, 𝑑³𝐫 — произведение дифференциалов всех компонент вектора 𝐫. Интегрирование по переменной 𝑡 даёт
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=
-
𝑖
ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫5/2
⎪
⎭
𝑇
𝑟
∫
⎧
⎪
⎩
1
𝑟𝑎
-
1
𝑟𝑏
⎫
⎪
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
(𝑟
𝑎
+𝑟
𝑏
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑉(𝐫)
𝑑³𝐫
,
(6.29)
где 𝑟𝑎=|𝐑𝑎-𝐫| и 𝑟𝑏=|𝐑𝑏-𝐫| (см. приложение). Для этих величин мы можем написать
𝑟
𝑎
=𝑅
𝑎
⎧
⎪
⎩
1-
2𝑅𝑎⋅𝐫
𝑅²𝑎
+
𝑟²
𝑅²𝑎
⎫½
⎪
⎭
≈
𝑅
𝑎
+𝐢
𝑎
⋅𝐫,
(6.30)
𝑟
𝑏
=𝑅
𝑏
⎧
⎪
⎩
1-
2𝑅𝑏⋅𝐫
𝑅²𝑏
+
𝑟²
𝑅²𝑏
⎫½
⎪
⎭
≈
𝑅
𝑏
-𝐢
𝑏
⋅𝐫,
(6.31)
где 𝐢𝑎 и 𝐢𝑏 — единичные векторы соответственно в направлениях векторов 𝐑𝑎 и 𝐑𝑏 (т.е. 𝐢𝑎=-𝐑𝑎/𝑅𝑎, где 𝑅𝑎=|𝐑𝑎|). При выводе приближённых соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина 𝑅𝑎 намного больше тех расстояний |𝐫|, на которых нельзя пренебрегать потенциалом 𝑉(𝑟).
Члены первого порядка по 𝑟 необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем
(𝑟
𝑎
+𝑟
𝑏
)²
≈
(𝑅
𝑎
+𝑅
𝑏
)²
+
2(𝑅
𝑎
+𝑅
𝑏
)
(𝐢
𝑎
⋅𝐫)
-
(𝐢
𝑏
⋅𝐫)
.
(6.32)
Используя эти приближения, ядро 𝐾(1)(𝑏,𝑎) можно теперь представить в виде
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
≈
-
𝑖
ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫5/2
⎪
⎭
𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑅𝑎
+
1
𝑅𝑏
⎫
⎪
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
(𝑅
𝑎
+𝑅
𝑏
)²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
𝑟
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
ℏ𝑇
(𝑅
𝑎
+𝑅
𝑏
)
(𝐢
𝑎
⋅𝐫)
-
(𝐢
𝑏
⋅𝐫)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑉(𝐫)
𝑑³𝐫
.
(6.33)
Физическая интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени 𝑇 электрон проходит полное расстояние, равное 𝑅𝑎+𝑅𝑏. Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет 𝑢=(𝑅𝑎+𝑅𝑏)/𝑇, его энергия равна 𝑚𝑢²/2, а импульс равен 𝑚𝑢. При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния. То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна 𝑖𝑚[(𝑅𝑎+𝑅𝑏)²/2ℏ𝑇], поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной 𝑇, составляет