ω=
𝑚
2ℏ
(𝑅𝑎+𝑅𝑏)²
𝑇²
.
(6.34)
Если скорость 𝑢 определена так, как это сделано выше, то энергия будет равна 𝑚𝑢²/2 [ср. соотношение (3.15)].
Дифференцирование фазы по переменной 𝑅𝑎 даёт волновое число в точке 𝑎
𝑘
=
𝑚
ℏ
𝑅𝑎+𝑅𝑏
𝑇
(6.35)
а это значит, что величина импульса равна 𝑚𝑢 [ср. соотношение (3.12)].
Задача 6.5. Интеграл по переменной 𝑡 в формуле (6.28) можно аппроксимировать, используя метод стационарной фазы. Рассмотрите этот метод на примере данного интеграла; покажите, что наибольший вклад в интеграл дают значения 𝑡 из области, близкой к точке 𝑡=𝑅𝑎/𝑢 и представляющей собой время, за которое электрон должен был бы достигнуть центра атома, если бы он двигался по классическим законам.
Используя определение скорости электрона 𝑢=(𝑅𝑎+𝑅𝑏)/𝑇, запишем вектор импульса входящей частицы 𝐩𝑎 в виде
𝐩
𝑎
=
𝑚𝑢
𝐢
𝑎
,
(6.36)
а вектор импульса выходящей частицы 𝐩𝑏 — как
𝐩
𝑏
=
𝑚𝑢
𝐢
𝑏
.
(6.37)
Тогда соотношение (6.33) можно представить в виде
𝐾
(1)
(𝑏,𝑎)
=
-
𝑖
ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ
⎫5/2
⎪
⎭
𝑢
𝑇½𝑅𝑎𝑅𝑏
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚
2ℏ
𝑢²𝑇
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
×
×
𝑟
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐩
𝑎
-𝐩
𝑏
)⋅𝐫
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑉(𝐫)
𝑑³𝐫
.
(6.38)
Обозначим далее изменение (или передачу) импульса через
𝐪
=
(𝐩
𝑎
-𝐩
𝑏
)
и введём величину
𝑣(𝐪)
=
𝑟
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐪⋅𝐩
𝑉(𝐫)
𝑑³𝐫
.
(6.39)
Вероятность того, что электрон достигнет точки 𝑎, даётся квадратом модуля ядра 𝐾𝑉(𝑏,𝑎) и, следовательно, будет зависеть в основном от первого члена разложения этого ядра, т.е. от величины 𝐾(0)(𝑏,𝑎), которая, по-видимому, настолько велика, что полностью перекрывает малый возмущающий член 𝐾(1)(𝑏,𝑎).
Поэтому в большинстве экспериментов по рассеянию обычно коллимируют входящий пучок соответствующими экранами, с тем чтобы те электроны, которые не рассеиваются на атомах мишени, не выходили бы за пределы ограниченной области вдоль некоторого направления, как это показано на фиг. 6.6. Конечно на таких коллимирующих экранах будет происходить дифракция (как это уже обсуждалось нами в гл. 3, § 2 и 3), и вне области центрального пучка будет наблюдаться некоторое число нерассеянных электронов. Однако коллиматоры можно установить таким образом, чтобы для точек, достаточно удалённых от оси коллимации, число дифрагировавших на коллиматоре электронов было бы очень мало по сравнению с числом электронов, рассеянных на атомах мишени.
Фиг. 6.6. Принципиальная схема фокусировки для исключения влияния члена нулевого порядка в точке 𝑏.
В этом случае из точки 𝑎 в точку 𝑏 с заметной вероятностью могут прийти лишь те электроны, которые испытывают хотя бы одно рассеяние. Поэтому член нулевого порядка в разложении 𝐾𝑉(𝑏,𝑎) в ряд теории возмущений будет вносить лишь пренебрежимо малый вклад и его можно отбросить. Вклад возникает за счёт члена первого порядка 𝐾(1)(𝑏,𝑎).
Тогда вероятность обнаружения электрона в такой области, по крайней мере в первом порядке теории возмущений, определяется только квадратом модуля ядра 𝐾(1)(𝑏,𝑎). Используя соотношения (6.38) и (6.39), запишем эту вероятность как