𝑃(𝑏)
ед. объёма
=
1
ℏ²
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ
⎫5
⎪
⎭
𝑢²
𝑇𝑅²𝑎𝑅²𝑏
|𝑣(𝐪)|²
.
(6.40)
Характерные особенности атомного потенциала и зависимость ядра от относительных направлений векторов 𝑅𝑎 и 𝑅𝑎 заключены в этой формуле в множителе 𝑣(𝐪). Этот множитель совершенно не зависит от размеров экспериментального устройства; их влияние учитывается остальной частью формулы (6.40). Например, множитель 1/𝑅²𝑎, как легко видеть, обусловлен тем, что вероятность столкновения электрона с атомом убывает обратно пропорционально 𝑅²𝑎. Может показаться, что в применении к рассматриваемому эксперименту это утверждение спорно из-за наличия коллиматоров. Однако эффект коллимации пренебрежимо мал на расстояниях порядка атомных размеров; по отношению к атому-мишени пучок налетающих электронов состоит из частиц, изотропно испускаемых некоторым точечным источником. Точно так же изотропно по всем направлениям от рассеивающего атома разлетаются и рассеянные электроны. Поэтому отнесённая к единице объёма вероятность регистрации электрона в точке 𝑏 изменяется обратно пропорционально 𝑅²𝑏. Поскольку наиболее интересные свойства рассматриваемого эксперимента связаны с функцией 𝑣(𝐪) мы уделим этой функции особое внимание в следующем параграфе.
Фиг. 6.7. Сравнение точек 𝑏 и 𝑑.
Если точки 𝑏 и 𝑑 находятся на одинаковых расстояниях от точки 𝑂, равных 𝑅𝑏 то различие в числе электронов, попадающих в эти точки, будет обусловленно лишь процессом рассеяния. Точка 𝑑 лежит на пути движения нерассеявшихся электронов. Отношение числа электронов, попавших в точку 𝑏, к числу электронов, которые достигли бы точки 𝑑 если бы на их пути не было рассеивающего центра, равно вероятности рассеяния в точку 𝑏.
Часть сомножителей в формуле (6.40) определяется выбором способа нормировки нашего ядра. Поэтому формулу (6.40) более удобно рассматривать и представлять в виде некоторого отношения вероятностей. Сравним вероятность обнаружения рассеянной частицы в точке 𝑏 с вероятностью её обнаружения в точке 𝑑, если точки 𝑏 и 𝑑 расположены за атомом на одинаковом расстоянии 𝑅𝑎+𝑅𝑏 от источника (фиг. 6.7). Другими словами, рассчитаем отнесённую к единице объёма вероятность 𝑃(𝑑) так, как если бы на пути частицы не было ни одного атома. Это даст нам величину |𝐾(0)(𝑑,𝑎)|², т.е.
𝑃(𝑑)
ед. объёма
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ
⎫3
⎪
⎭
𝑢²
𝑇(𝑅𝑎+𝑅𝑏)²
,
(6.41)
так что
𝑃(𝑏)
𝑃(𝑑)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫2
⎪
⎭
|𝑣(𝐪)|²
(𝑅𝑎+𝑅𝑏)²
𝑅²𝑎+𝑅²𝑏
.
(6.42)
В § 5 мы дадим геометрическую интерпретацию этого отношения и более детально рассмотрим функцию 𝑉(𝐪).
Эффективное сечение рассеяния. Характеристики атома в экспериментах с рассеянием удобно описывать с помощью понятия эффективного сечения рассеяния 1). Привлекательность такого подхода обусловлена нашей привычкой к представлениям классической физики. Эффективное сечение а определяется как та эффективная площадь атома-мишени (в классическом смысле этого слова), которую должен иметь перед собой электрон, чтобы рассеяться в единичный телесный угол. Этот телесный угол измеряется относительно сферы, центр которой совпадает с центром атома. Эффективное сечение будет поэтому функцией угла рассеяния, т.е. функцией угла между векторами 𝐑𝑎 и 𝐑𝑏. С помощью такой классической модели мы можем выразить вероятность попадания электрона в заданную точку 𝑏.
1) В литературе вместо термина «эффективное сечение» часто используются также термины «поперечное сечение» или «эффективное поперечное сечение». Все эти термины совершенно эквивалентны.— Прим. ред.
Фиг. 6.8. Частицы бомбардируют площадку 𝑑σ мишени и отклоняются на угол θ, попадая на площадку, измеряемую телесным углом 𝑑Ω.