Если бы не произошло ни одного соударения, все частицы попали бы в точку 𝑑. Вместо этого они попадают в точку 𝑏, разбрасываясь по площади 𝑅²𝑏𝑑Ω. Вероятность обнаружить частицу в точке 𝑑 обратно пропорциональна площади, по которой распределится пучок в точке 𝑑.
Аналогично вероятность обнаружения частицы в точке 𝑏 обратно пропорциональна площади 𝑅²𝑏𝑑Ω, по которой распределится пучок рассеявшихся частиц, когда они долетят до точки 𝑏. Если взять отношение этих площадей, то получим обратную величину отношения соответствующих вероятностей. С этой точки зрения мы говорим, что все частицы, которые попадают на мишень площадью 𝑑σ рассеиваются на угол θ. В действительности, конечно, только немногие из частиц, попадающих на мишень, вообще рассеиваются и только часть из них — на угол θ. Итак, элемент площади 𝑑σ, который мы использовали в наших расчётах, есть аффективное поперечное сечение рассеяния на угол θ, отнесённое к единице телесного угла 𝑑Ω, в которой рассеиваются частицы.
Если частицы, вылетающие из начала координат, сталкиваются на расстоянии 𝑅𝑎 с мишенью площадью 𝑑σ то эти частицы уже не попадут в область 𝑑, где они имели бы разброс в круге с площадью [(𝑅𝑎+𝑅𝑏)/𝑅𝑎]²𝑑σ. Вместо этого они полетят в телесном угле 𝑑Ω в направлении 𝑏 и будут, следовательно, иметь разброс по площади 𝑅²𝑏𝑑Ω, как показано на фиг. 6.8. Поэтому отношение вероятности попадания частицы в точку 𝑏 к вероятности её попадания в точку 𝑑, на пути к которой не было соударений, равно обратному отношению этих площадей:
𝑃𝑏
𝑃𝑑
=
(𝑅𝑎+𝑅𝑏)² 𝑑σ /𝑅
2
𝑎
𝑅
2
𝑎 𝑑Ω
.
(6.43)
Сравнивая выражения (6.42) и (6.43), мы видим, что эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла есть
𝑑σ
𝑑Ω
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫2
⎪
⎭
|𝑣(𝐪)|²
.
(6.44)
Основное преимущество такого применения понятия эффективного сечения по сравнению с рассмотренным выше соотношением (6. 40) заключается в том, что выражение (6.44) не зависит от конкретных экспериментальных условий. Поэтому эффективные сечения, полученные из разных экспериментов, можно сравнивать непосредственно, тогда как для вероятностей, отнесённых к единице объёма, такое сравнение невозможно.
Следует подчеркнуть, что понятие эффективной мишени является чисто классическим и представляет собой лишь удобный способ рассмотрения вероятностей рассеяния. Между величиной эффективного сечения и размерами рассеивающего атома не существует прямой связи и нельзя представлять себе, что механизм рассеяния локализован в области именно таких размеров. Например, тень, которая при классическом рассмотрении должна появиться позади мишени, на самом деле вовсе не будет обладать свойствами классической тени с резкими границами; так как мы имеем дело с волновым процессом, то эта тень будет искажена дифракцией.
Различные выражения для атомного потенциала. На примере конкретных задач здесь показаны результаты, полученные при различных предположениях о виде атомного потенциала 𝑉(𝑟).
Задача 6.6. Пусть мы имеем потенциал, соответствующий центральным силам, т.е. 𝑉(𝐫)=𝑉(𝑟). Покажите, что функция 𝑣(𝐪) может быть записана в виде
𝑣(𝐪)
=
𝑣(𝑞)
=
4πℏ
𝑞
∞
∫
0
𝑟
⎧
⎪
⎩
sin
𝑞𝑟
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑉(𝑟)
𝑑𝑟
.
(6.45)
Если допустить, что 𝑉(𝑟) является кулоновским потенциалом 𝑍𝑒²/𝑟, то интеграл в выражении для 𝑣(𝑞) оказывается осциллирующим вблизи верхнего предела, т.е. при 𝑟→∞. Тем не менее такой интеграл можно сделать сходящимся с помощью искусственного введения в подынтегральное выражение множителя 𝑒-ε𝑟 и после вычисления интеграла перейти к пределу при ε→0. Используя этот приём, покажите, что в итоге получается сечение резерфордовского рассеяния
σ
𝑅
=
4𝑍𝑒4𝑚2
𝑞4
=
𝑍𝑒4
16(𝑚𝑢²/2)[sin(θ/2)]4
,