(6.46)
где 𝑒 — заряд электрона,
𝑞
=
2𝑝 sin
θ
2
=
2𝑚𝑢 sin
θ
2
,
(6.47)
а θ — угол между векторами 𝐢𝑎 и 𝐢𝑏.
Результат, полученный в задаче 6.6, случайно оказывается точным в том смысле, что первое борновское приближение даёт точную величину вероятности рассеяния на кулоновском потенциале. Это не означает, что члены высшего порядка обратятся в нуль; дело в том, что они вносят вклад лишь в фазу амплитуды рассеяния. Поскольку вероятность равна квадрату модуля амплитуды, она не зависит от фазы. Таким образом, первое борновское приближение даёт правильное значение вероятности рассеяния, но не является точным выражением для амплитуды. Случай кулоновского рассеяния любопытен ещё и по ряду других причин. В частности, строго классическое (т.е. проделанное в предположении, что электрон ведёт себя как заряженная точечная масса) исследование этого рассеяния приводит к тому же самому результату.
Задача 6.7. Предположим, что потенциал 𝑉(𝐫) создаётся зарядом, распределённым с плотностью ρ(𝐫), так что
∇²𝑉(𝐫)
=
4π𝑒ρ(𝐫)
.
(6.48)
Пусть плотность ρ(𝐫) спадает до нуля при |𝐫|→∞. Умножая соотношение (6.48) на exp [𝑖𝐪⋅(𝐫/ℏ)] и дважды интегрируя по переменной 𝐫, покажите что функция 𝑣(𝐪) может быть следующим образом выражена через плотность ρ:
𝑣(𝐪)
=
4πℏ²𝑒²
𝑞²
𝐫
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐫)
ρ(𝐫)
𝑑³𝐫
.
(6.49)
Атом можно описать, используя понятие плотности заряда. В области атомного ядра эта плотность заряда предполагается сингулярной, так что её можно представить в виде δ-функции от расстояния 𝑟 с коэффициентом 𝑍, равным заряду ядра. Если ρ𝑒 — плотность атомных электронов, то функция 𝑣(𝐪) в этом случае запишется как
𝑣(𝐪)
=
4πℏ²𝑒²
𝑞²
⎡
⎢
⎣
𝑍-
𝐫
∫
ρ
𝑒
(𝐫)
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐫)
𝑑³𝐫
⎤
⎥
⎦
.
(6.50)
Величину в скобках принято называть атомным формфактором. (Заметим, что точно с таким же формфактором мы встречаемся при изучении рассеяния рентгеновских лучей. Действительно, в теории рассеяния рентгеновских лучей доказано, что в этом случае основную роль играют атомные электроны, а не ядро. Поэтому формфактор для рентгеновских лучей будет тем же самым, что и в случае рассеяния электронов на атоме, если не считать того, что для рентгеновских лучей не нужно учитывать фактор 𝑍.
В атоме потенциал изменяется по кулоновскому закону лишь при очень малых радиусах. С увеличением радиуса атомные электроны начинают постепенно экранировать (компенсировать) электрический заряд ядра до тех пор, пока при достаточно больших значениях 𝑟 потенциал не обратится в нуль. В очень грубом приближении эффект экранировки атомными электронами можно оценить с помощью формулы
𝑉(𝑟)
=
𝑍𝑑²
𝑟
𝑑
(𝑟/𝑎)
.
(6.51)
Через 𝑎 в этой формуле обозначен радиус атома. Заметим, что это не тот внешний радиус атома, которым пользуются химики; здесь 𝑎=𝑎0/𝑍1/3, где 𝑎0=ℏ²/𝑚𝑑²=0,528Å.
Задача 6.8. Покажите, что для потенциала (6.51)
𝑣(𝐪)
=
4π𝑍𝑒²ℏ²
𝑞²+(ℏ/𝑎)²
(6.52)
и, следовательно,
σ=𝑍
2
𝑒
4
⎧
⎨
⎩
𝑚𝑢²
2
⎡
⎢
⎣
4
⎧
⎪
⎩
sin
θ
2
⎫²
⎪
⎭
+
ℏ²
(𝑝𝑎)²
⎤
⎥
⎦
⎫-2
⎬
⎭
.
(6.53)
Полное эффективное сечение σ𝑇 определится как интеграл от сечения σ по поверхности единичной сферы, т.е.
σ
𝑇
=
4π
∫
0
σ𝑑
Ω
.
(6.54)
Покажите, что это сечение имеет вид
σ
𝑇