=
π𝑎²
𝑍
2
𝑒
4
1
(2𝑢ℏ)
2
1+
ℏ²
(2𝑝𝑎)²
(6.55)
Задача 6.9. Пусть мы хотим учесть тот факт, что атомное ядро имеет конечный радиус
𝑟
=
1,2⋅10
-13
×(массовое число)
1/3
см
(6.56)
в предположении, что заряд ядра распределён приблизительно равномерно внутри сферы такого радиуса. Спрашивается, как это предположение повлияет на эффективное сечение рассеяния электронов на атоме в области больших передач импульса 𝑞?
Покажите, каким образом отсюда может быть определён радиус ядра. Насколько велика должна быть величина импульса налетающих электронов 𝑝, чтобы стало заметным влияние структуры атомного ядра? Какие углы, большие или малые, следует при этом измерять более точно и почему?
Замечание. В эксперименте такого рода требуются настолько большие импульсы электронов, что для нахождения энергии фактически нужно пользоваться релятивистской формулой 𝐸=(𝑚2𝑐4+𝑐2𝑝2)½-𝑚𝑐2, поэтому, строго говоря, для описания взаимодействия мы уже не имеем права применять нерелятивистские формулы. Однако соотношение между импульсом и длиной волны и между энергией и частотой не изменяются при переходе в релятивистскую область. Поскольку это именно та длина волны, которая определяет разрешающую силу такого «электронного микроскопа», то использование (без конкретного вычисления импульса) нерелятивистских формул является вполне законным.
Задача 6.10. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из атомов 𝐴 и 𝐵, центры которых задаются векторами 𝑎 и 𝑏. Используя борновское приближение, покажите, что амплитуда рассеяния электрона на такой молекуле
𝐾
(1)
=
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐚)
𝑓
𝐴
(𝐪)
+
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐛)
𝑓
𝐵
(𝐪)
,
(6.57)
где 𝑓𝐴 и 𝑓𝐵 — амплитуды рассеяния электрона на отдельных атомах при допущении, что каждый из этих атомов располагался бы в начале системы координат. Межатомные связи слабо влияют на распределение заряда вокруг ядер (за исключением очень лёгких атомов, таких, как водород), так как силы этих связей действуют лишь на самые внешние электроны атомных оболочек.
Используя соотношение (6.57), покажите, что вероятность рассеяния при заданном значении передаваемого импульса 𝑝 пропорциональна сумме 𝑓²𝐴 + 𝑓²𝐵 + 2𝑓𝐴𝑓𝐴cos(𝐪⋅𝐝), где 𝐝=𝐚-𝐛.
Вычисленные в борновском приближении амплитуды 𝑓 являются действительными величинами и применимы для тех энергий электронов (порядка 1 кэв), которые обычно используются в дифракционных опытах с молекулами. Однако если молекула состоит из очень тяжёлых атомов, таких, как уран, то атомный потенциал 𝑉 становится настолько большим, что борновское приближение оказывается уже недостаточно точным для описания экспериментов. В этом случае необходимо внести небольшие поправки.
Задача 6.11. Предположим, что молекулы ориентированы совершенно случайным образом. Покажите, что эффективное сечение рассеяния электронов, усреднённое по совокупности таких молекул, пропорционально сумме 𝑓²𝐴 + 𝑓²𝐵 + 2𝑓𝐴𝑓𝐴 [sin (𝐪×𝐝)/(𝐪⋅𝐝)]. Как обобщить этот результат на случай многоатомных молекул?
Все эти результаты лежат в основе электронной дифракционной техники, позволяющей определять форму различных молекул.
Задача 6.12. В предположении о независимости потенциала 𝑉(𝑟) от времени покажите, что интегрирование по времени в выражении для ядра , описывающем рассеяние во втором порядке теории возмущений, приводит к формуле
𝐾
(2)
(𝑏,𝑎)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫2
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫3/2
⎪
⎭
𝐫𝑐
∫
𝐫𝑑
∫
𝑟𝑐𝑑+𝑟𝑎𝑐+𝑟𝑑𝑏
𝑟𝑐𝑑𝑟𝑎𝑐𝑟𝑑𝑏
×