×
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
⎫
⎪
⎭
(𝑟
𝑐𝑑
+𝑟
𝑎𝑐
+𝑟
𝑑𝑏
)²
⎤
⎥
⎦
𝑉(𝐫
𝑐
)
𝑉(𝐫
𝑑
)
𝑑³𝐫
𝑐
𝑑³𝐫
𝑑
,
(6.58)
где точки 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 расположены так, как это показано на фиг. 6.9; величина 𝑟𝑐𝑑 равна расстоянию между точками 𝑐 и 𝑑 и т. д. Полагая, что потенциал 𝑉(𝐫) становится пренебрежимо малым на расстояниях, небольших по сравнению с 𝑅𝑎, и 𝑅𝑏, покажите, что эффективное сечение даётся формулой σ=|𝑓|², где 𝑓 — амплитуда рассеяния, содержащая лишь члены первого приближения:
𝑓
=
𝑚
2πℏ²
𝐫
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩𝑏⋅𝐫
𝑉(𝐫)
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐫
𝑑³𝐫
+
+
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫²
⎪
⎭
𝐫𝑐
∫
𝐫𝑑
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩𝑏⋅𝐫𝑑
𝑉(𝐫
𝑑
)
⎧
⎪
⎩
1
𝑟𝑐𝑑
⎫
⎪
⎭
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑝𝑟𝑐𝑑
×
×
𝑉(𝐫
𝑐
)
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐫𝑐
𝑑³𝐫
𝑐
𝑑³𝐫
𝑑
+члены более высокого порядка.
(6.59)
Здесь 𝐩𝑏 — импульс электрона, вылетающего в направлении 𝐑𝑏, а 𝐩𝑎 —импульс электрона, движущегося в направлении — 𝐑𝑎. Абсолютная величина импульса равна 𝑝, и она почти не меняется при упругом рассеянии электрона на относительно тяжёлом атоме.
Фиг. 6.9. Учёт членов второго порядка в разложении теории возмущений.
Как на фиг. 6.2 (случай 3), здесь изображено рассеяние электрона атомным потенциалом в двух различных точках. Электрон выходит из точки 𝑎 и движется как свободная частица до точки 𝑐, где он рассеивается; после этого электрон снова движется как свободная частица до точки 𝑑, где происходит ещё одно рассеяние, и далее снова продолжается свободное движение вплоть до точки 𝑏, где электрон попадает в счётчик. Точки 𝑐 и 𝑑 могут находиться в любом месте пространства. Атомный потенциал в этих точках зависит от длин радиусов-векторов 𝐫𝑐 и 𝐫𝑑, измеряемых от центра атома 𝑂.
Можно было бы ожидать, что, когда борновское приближение становится недостаточно точным, имеет смысл вычислять в качестве поправки члены второго порядка и т. д. Но на практике оказывается, что в выражениях типа (6.59) мы встречаемся с весьма медленно сходящимися рядами. Если второй член даёт сравнительно заметную поправку (например, ~ 10%), то каждый следующий член даст ненамного меньший вклад, так что получить существенное улучшение результата довольно нелегко. Конечно, в задачах, где погрешности борновского приближения сравнительно малы (скажем, меньше 1%), учёт второго члена является вполне хорошим способом вычисления поправок.
Описание рессеяния с помощью волновой функции. В рассмотренных выше экспериментах по рассеянию мы предполагали, что в начальном состоянии электрон был свободной частицей с импульсом 𝐩𝑎. Предполагалось также, что величину этого импульса можно определить методом измерения времени пролёта (т.е. по полному времени 𝑇, необходимому для прохождения расстояния 𝑅𝑎+𝑅𝑏).
Конечно, не обязательно использовать именно этот способ; нас вполне удовлетворит любое устройство, которое позволит определять величину импульса. Поэтому обобщим рассмотренную картину процесса рассеяния, воспользовавшись понятием волновой функции.
Допустим, нам известно, что влетающий электрон имеет импульс 𝑝𝑎 и энергию 𝐸𝑎=𝑝²𝑎/2𝑚. Следовательно, волновая функция налетающих электронов
φ
𝑎
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑎𝑡