.
(6.60)
Использовав теперь два первых члена соотношения (6.25), мы можем в первом приближении теории возмущений записать следующее выражение для волновой функции вылетающих электронов:
ψ(𝐑
𝑏
,𝑡
𝑏
)
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐑𝑏
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑎𝑡𝑏
-
-
𝑖
ℏ
𝑡𝑏
∫
0
𝐫
∫
𝐾
0
(𝐑
𝑏
,𝑡
𝑏
;𝐫,𝑡)
𝑉(𝐫,𝑡)
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑎𝑡
𝑑³𝐫
𝑑𝑡
.
(6.61)
Первый член в этом выражении представляет собой дебройлевскую волну свободных частиц, которые проходят область действия потенциала, не рассеявшись. Второй член — амплитуда рассеянных электронов. Если обозначить его через φ𝑠, то эта функция опишет рассеянную волну.
Задача 6.13. Предположим, что потенциал 𝑉(𝐫,𝑡) в действительности не зависит от времени 𝑡. Подставив в формулу (6.61) выражение ядра 𝐾0, соответствующее движению свободных частиц, и проинтегрировав полученный результат по переменной 𝑡, покажите, что
ψ(𝐑
𝑏
,𝑡
𝑏
)
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐸𝑏𝑡𝑏
+[
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐑𝑏
+
+
𝑚
2πℏ²
𝐫𝑐
∫
1
𝑟𝑏𝑐
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑝𝑟𝑏𝑐
𝑉(𝐫
𝑐
)
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐫𝑐
𝑑³𝐫
𝑐
,
(6.62)
где 𝑟𝑏𝑐 — расстояние от конечной точки 𝑏 до переменной точки интегрирования 𝑐, а 𝑝 — абсолютная величина импульса электрона.
Предположив снова, что на небольших по сравнению с 𝑆𝑎 и 𝑆𝑏 расстояниях потенциал спадает до нуля, покажите, что выражение (6.62) может быть записано как
ψ(𝐑
𝑏
,𝑡
𝑏
)
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐸𝑏𝑡𝑏
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩𝑎⋅𝐑𝑏
+
𝑓
𝑒(𝑖/ℏ)𝑝𝑅𝑏
𝑅𝑏
,
(6.63)
где амплитуда рассеяния 𝑓 следующим образом выражается через функцию 𝑣(𝑞):
𝑓
=
𝑚
2πℏ²
𝑣(𝐪)
(6.64)
[см. соотношение (6.35)].
Последний член формулы (6.63), функцию (𝑓/𝑅𝑏) exp (𝑖𝑝𝑅𝑏/ℏ), можно рассматривать как пространственную часть волновой функции рассеянных частиц. Она имеет вид сферической волны, расходящейся из центра рассеивающего атома. Для каждого определённого угла рассеяния амплитуда этой волны зависит от угла через функцию 𝑓, которая, как видно из формулы (6.64), изменяется в зависимости от величины передаваемого импульса 𝑞. Таким образом, полная волновая функция электронов после рассеяния может рассматриваться как сумма двух членов. Первый член представляет собой плоскую волну нерассеянных электронов exp (𝑖𝐩𝑎⋅𝐑𝑏/ℏ), второй член — сферическую волну рассеянных электронов, как показано на фиг. 6.10. Используя такой подход, выведите формулу для эффективного сечения σ.
Фиг. 6.10. Рассеяние электронного пучка на атомном ядре.
Пучок электронов можно представить в виде эквивалентной ему плоской волны, движущейся по направлению к атомному ядру, расположенному в точке 𝑅=𝑂. Правее этой точки большая часть пучка будет по-прежнему двигаться как невозмущённая плоская волна с импульсом 𝑝𝑎 Меньшая часть пучка рассеивается на ядре и расходится от точки 𝑂 в виде сферической волны. Поэтому суммарная интенсивность (т.е. число электронов) в некоторой точке 𝑏, определяемой радиусом-вектором 𝐑𝑏, состоит из двух частей. Одна из них представляет собой нерассеянный пучок, описываемый плоской волной exp (𝑖𝐩𝑎⋅𝐑𝑏/ℏ). Вторая — это рассеянная сферическая волна (1/𝑅𝑏) exp (𝑖𝑝𝑅𝑏/ℏ) с зависящей от углов амплитудой 𝑓. Комбинация этих двух волн определяет пространственную часть волновой функции пучка электронов после рассеяния.