Задача 6.14. С помощью метода, основанного на использовании волновых функций, рассмотрите рассеяние электрона на синусоидально осциллирующем поле, потенциал которого имеет вид
𝑉(𝑟𝑡)
=
𝑈(𝑟) const ω𝑡
.
(6.65)
Покажите, что в первом борновском приближении энергия расходящейся волны изменяется на величину, равную ±ω. Что дадут члены высших порядков?
§ 5. Возмущения, зависящие от времени, и амплитуды переходов
Амплитуда перехода. Теория возмущений оказывается особенно полезной, когда потенциал 𝑈, соответствующий невозмущённой задаче, не зависит от времени. Из соотношения (4.59) видно, что ядро в этом случае может быть разложено в ряд по собственным функциям φ𝑛 и собственным значениям невозмущённой задачи
𝐾
𝑈
(2,1)
=
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥
2
)φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
для 𝑡
2
>𝑡
1
(6.66)
(для простоты ограничимся случаем одномерного движения).
Рассмотрим теперь полученные ранее разложения ядра 𝐾𝑉(2,1), подставив в них выражение для 𝐾𝑈. Если выписать только два первых члена, то
𝐾
𝑉
(2,1)
=
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥
2
)φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
-
-
𝑖
ℏ
∑
𝑛
∑
𝑚
∫
φ
𝑚
(𝑥
2
)φ
*
𝑚
(𝑥
3
)
𝑉(𝑥
3
,𝑡
3
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡3)
φ
𝑛
(𝑥
3
)
×
×
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡3-𝑡1)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡
3
+… .
(6.67)
Ясно, что в каждом члене разложения переменная 𝑥1 входит лишь через волновую функцию φ*𝑚(𝑥1); аналогичным образом входит и переменная 𝑥2, поэтому ядро 𝐾𝑉 мы всегда можем записать в виде
𝐾
𝑉
(2,1)
=
∑
𝑛
∑
𝑚
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
,𝑡
1
)
φ
𝑚
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
,
(6.68)
где λ — коэффициенты, зависящие от 𝑡2 и 𝑡1. Будем называть эти коэффициенты амплитудами перехода. В нулевом порядке по 𝑉 ядро (6.68) должно совпадать с ядром 𝐾𝑈, так что в этом порядке λ𝑚𝑛=δ𝑚𝑛 exp [-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)]. Если коэффициенты λ разложить в ряд по возрастающим степеням потенциала 𝑉, то получим
λ
𝑚𝑛
=
δ
𝑚𝑛
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
+λ
(1)
𝑚𝑛
+λ
(2)
𝑚𝑛
+… .
(6.69)
Сравнивая это выражение с формулой (6.67), получаем далее
λ
(1)
𝑚𝑛
=-
𝑖
ℏ
∞
∫
-∞