Фиг. 6.11. На систему, находящуюся вначале на 𝑛-м энергетическом уровне, действует потенциал 𝑉, который «рассеивает» систему во все возможные для неё состояния.
При этом амплитуда рассеяния в 𝑘-е состояние будет пропорциональна 𝑉𝑘𝑛. В частности, амплитуда рассеяния из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 за время 𝑑𝑡 равна -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛𝑑𝑡.
Задача 6.16. Интерпретируйте соотношение (6.71), рассмотрев его как сумму по всем альтернативам, т.е. укажите эти альтернативы.
Задача 6.17. Интерпретируйте формулу (6.72), объяснив значение каждого члена. После этого выведите и объясните смысл соответствующей формулы для коэффициента λ во втором порядке теории возмущений:
λ
(2)
𝑚𝑛
=-
1
ℏ²
𝑡2
∫
𝑡1
⎧
⎨
⎩
𝑡4
∫
𝑡1
∑
𝑘
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
-𝑡
4
)
⎤
⎥
⎦
𝑉
𝑚𝑘
(𝑡
4
)
×
×
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑘
(𝑡
4
-𝑡
3
)
⎤
⎥
⎦
𝑉
𝑘𝑛
(𝑡
3
)
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑛
(𝑡
3
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
3
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
4
.
(6.74)
Задача 6.18. Получите и объясните интегральное уравнение
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
,𝑡
1
)
=
δ
𝑚𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
-
-
𝑖
ℏ
𝑡2
∫
𝑡1
exp
⎡
⎢
⎣
-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
-𝑡
3
)
⎤
⎥
⎦
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
(𝑡
3
)
λ
𝑘𝑛
(𝑡
3
,𝑡
1
)
𝑑𝑡
3
.
(6.75)
Задача 6.19. Будем считать, что коэффициент λ𝑚𝑛(𝑡2) является функцией конечного момента времени 𝑡2. Покажите, используя уравнение (6.75) или ряд (6.69), что
𝑑
𝑑𝑡2
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
)
=-
𝑖
ℏ
∑
𝑘
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
)𝑡
2
⎤
⎥