λ
(1)
𝑚𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑛
𝑡
2
-𝐸
𝑚
𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
=
=-
𝑖
ℏ
𝑉
𝑚𝑛
𝑇
∫
0
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑛
-𝐸
𝑚
)𝑡
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
=
𝑉
𝑚𝑛
exp[(𝑖/ℏ)(𝐸𝑛-𝐸𝑚)]-1
𝐸𝑚-𝐸𝑛
.
(6.78)
Следовательно, вероятность перехода за интервал времени, равный 𝑇,
𝑃(𝑛→𝑚)
=
|λ
(1)
𝑚𝑛
|²
=
|𝑉
𝑚𝑛
|²
⎡
⎢
⎣
4sin²
(𝐸𝑛-𝐸𝑚)𝑇
2ℏ
⎤
⎥
⎦
(𝐸
𝑛
-𝐸
𝑚
)
-2
.
(6.79)
Мы видим, что по крайней мере для большого интервала 𝑇 эта вероятность является быстро осциллирующей функцией от разности энергий 𝐸𝑛-𝐸𝑚. Если значения энергии 𝐸𝑛 и 𝐸𝑚 достаточно сильно отличаются друг от друга, т.е. если |𝑉𝑚𝑛|≪|𝐸𝑚-𝐸𝑛|, то вероятность 𝑃(𝑛→𝑚) будет очень мала. Это означает, что чрезвычайно мала вероятность найти значительное различие в энергиях начального и конечного состояний системы, подверженной действию очень слабого стационарного возмущения. Можно спросить, каким образом вообще малое возмущение 𝑉𝑚𝑛 может привести к значительному изменению энергии 𝐸𝑚-𝐸𝑛? Ответ таков: мы рассматриваем возмущение 𝑉, внезапно возникающее в некоторый момент времени 𝑡=0, поэтому точное указание этого момента уже само по себе в силу принципа неопределённости допускает большую неопределённость значения энергии [см. формулу (5.19) и связанное с ней обсуждение].
Задача 6.20. Предположим, что потенциал 𝑉 сначала плавно возрастает, а затем плавно уменьшается. Пусть, например, 𝑉(𝑥,𝑡)=𝑉(𝑥)𝑓(𝑡) — гладкая функция, определяемая условиями
𝑓(𝑡)
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
2𝑒γ𝑡
, если 𝑡=0,
1-
1
2𝑒γ𝑡
, если 0 < 𝑡 <
𝑇
2
,
1-
1
2𝑒-γ(𝑇-1)
, если
𝑇
2
< 𝑡 < 𝑇,
1
2𝑒-γ(𝑡-𝑇)
, если 𝑡 > 𝑇
(6.80)
(фиг. 6.12). Допустим далее, что фактор 1/γ, определяющий временной рост функции 𝑓(𝑡), намного меньше величины 𝑇 (1/γ ≪ 𝑇).
Фиг. 6.12. Зависимость от времени потенциала, обусловливающего переход из состояния 𝑚 в состояние 𝑛.
Как только зависимость от времени 𝑓(𝑡) становится более слабой, т.е. разрывы остаются лишь в производных существенно более высоких порядков, вероятность перехода уменьшается.
Кроме того, предположим, что γ ≪ (𝐸𝑚-𝐸𝑛). Покажите что величина вероятности (6.79) уменьшается в этом случае в ξ раз, где ξ={γ²/[γ²+(𝐸𝑚-𝐸𝑛)]}². При определении функции 𝑓(𝑡) в виде (6.80) мы имеем ещё разрывы второй производной по времени; более гладкие функции приводят к ещё большему уменьшению величины 𝑃(𝑛→𝑚).
Может случиться, что значения энергии 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 будут в точности равны друг другу; в этом случае вероятность перехода 𝑃(𝑛→𝑚) = |𝑉𝑚𝑛|² 𝑇²/ℏ² и возрастает пропорционально квадрату времени. Это означает, что понятие вероятности перехода на единицу времени в данном случае не имеет смысла. Указанная выше формула применима только для достаточно малых значений 𝑇, таких, что 𝑉𝑚𝑛𝑇 ≪ ℏ. Если у нас имеются только два состояния с одинаковой энергией, то оказывается, что вероятность обнаружить систему в первом из этих состояний равна cos²(|𝑉𝑚𝑛|𝑇/ℏ), а вероятность её обнаружения во втором состоянии равна sin²(|𝑉𝑚𝑛|𝑇/ℏ), так что наша формула является всего лишь первым приближением к этим выражениям.